微专题10：函数的奇偶性-2023-2024学年高一数学上学期期中期末重要专题复习课课件（沪教版2020必修第一册）

【沪教版2020】高中数学必修第一册 微专题：函数的奇偶性 第 5 章 函数的概念、 性质及应用 5.2 函数的基本性质 课程 标准 内容要求 学业要求 结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义 了解函数的奇偶性 知识梳理 00. 知识梳理 00. 坐标原点 坐标原点 知识梳理 00. 题型例析 01. 题型例析 01. 方法归纳 题型例析 01. 方法归纳 题型例析 01. A 题型例析 01. 方法归纳 题型例析 01. 题型例析 01. 题型例析 01. 方法归纳 课堂小结 02. 课堂练习 03. A 课堂练习 03. 4 课堂练习 03. 课堂练习 03. 课堂练习 03. 课堂练习 03. 课堂练习 03. 学习目标 1．了解函数奇偶性的概念． 2．掌握判断函数奇偶性的方法． 3．了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系． 4．会利用函数的奇偶性解决简单问题． 偶函数 奇函数 定义 条件 对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(－x)＝eq \x(1)______ f(－x)＝eq \x(2)_____ 结论 函数f(x)叫做偶函数 函数f(x)叫做奇函数 图象特征 图象关于eq \x(3)______对称 图象关于eq \x(4)_______对称 f(x) －f(x) y轴 原点 奇函数与偶函数的图象特征与对称性 (1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以__________为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以__________为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． (2)如果一个函数是偶函数，则它的图象是以_____为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于_____对称，则这个函数是偶函数． y轴 y轴 思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)＝x的图象关于(0,0)对称． (　　) (2)偶函数的图象一定与y轴相交． (　　) (3)若对函数f(x)有f(－1)＝f(1)，则f(x)为偶函数． (　　) (4)奇函数的图象一定过(0,0)． (　　) 【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 题型一　函数奇偶性的判断　 例1、判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝eq \f(1,x)； (2)f(x)＝x2(x2＋2)； (3)f(x)＝eq \f(x,x－1). 【解析】　(1)函数f(x)＝eq \f(1,x)的定义域为{x|x∈R且x≠0}， 因为对定义域内的每一个x，都有f(－x)＝eq \f(1,－x)＝－eq \f(1,x)＝－f(x)， 所以函数f(x)＝eq \f(1,x)为奇函数． (2)因为x∈R，所以－x∈R. 又因为f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)， 所以f(x)为偶函数． (3)显然函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数． 例2、判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3＋3x，x∈[－4,4)； (2)f(x)＝eq \f(1,x)； (3)f(x)＝|x－2|－|x＋2|； (4)f(x)＝eq \r(x－1)·eq \r(x＋1). 【解析】(1)因为函数的定义域关于坐标原点不对称， 即存在－4∈[－4,4)，而4∉[－4,4)， 所以，函数f(x)＝x3＋3x，x∈[－4,4)既不是奇函数也不是偶函数． (2)因为函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域关于坐标原点对称，且对任意的x(x≠0)有f(－x)＝eq \f(1,－x)＝－eq \f(1,x)＝－f(x)，所以，函数f(x)＝eq \f(1,x)是奇函数． (3)函数的定义域为实数集R，定义域关于坐标原点对称． 因为f(－x)＝|－x－2|－|－x＋2|＝|x＋2|－|x－2| ＝－(|x－2|－|x＋2|)＝－f(x)， 所以，函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|是奇函数． (4)函数的定义域为[1，＋∞)， 由于f(x)的定义域关于坐标原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 1、用定义法判断f（x）的奇偶性，应首先验证定义域是否关于原点对称， 其次要验证f－x与fx的关系，即f－x＝fx或f－x＝－fx， 有时还可以用其等价式f－x±fx＝0或 eq \f(f－x,fx)＝±1fx≠0来判断. 2、在选择、填空题中，也可以用如下性质判断函数奇偶性： ①偶函数的和、差、积、商分母不为零仍为偶函数；②奇函数的和、差仍为奇函数；③奇偶数个奇函数的积、商分母不为零为奇偶函数；④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数. 用