专题一 单双变量不等式恒(能)成立问题课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

单双变量不等式恒(能)成立问题 一元二次不等式恒成立问题 1 一、单变量不等式恒成立 例1 (1)已知不等式，求实数的取值范围； (2)若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【解析】(1)当时，恒成立 当， 解得： 综上，实数的取值范围为 2 例题分析 例1 (1)已知不等式，求实数的取值范围； (2)若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【解析】(2)原不等式可化为 构造二次函数 所以恒成立，其函数图像不在轴下方，开口向上，与轴最 多有一个交点， 即，整理得， 解得： 综上，实数的取值范围为 3 新知探究 (1)一元二次不等式在R上恒成立的等价条件是 ； (2)一元二次不等式在R上恒成立的等价条件是 ； a>0且Δ<0 a<0且Δ<0 【解析】构造二次函数 ， (1) 如图①，一元二次不等式 在R上恒成立 一元二次不等式 的解集是R 二次函数 的图像恒在轴上方 a>0且Δ<0 (2) 如图②，一元二次不等式 在R上恒成立 一元二次不等式 的解集是R 二次函数 的图像恒在轴下方 a<0且Δ<0 y x O 图① y x O 图② 注：当不等式未说明为一元二次不等式时， 对任意实数恒成立问题，应分情况讨论： 当时， 当时， 4 学有所用 练习1 已知不等式：恒成立，试求实数 的取值范围 【解析】令， 若显然恒成立， ； 若，则 解得 综上，所求的取值范围为 5 例题分析 例2 设函数，，若恒成立，求实数取值范围. 【解析】由恒成立， 恒成立， 当时， ，显然恒成立 当时，因为， 所以原不等式可化为恒成立， 记则问题转化为 记 如图，在上， 最大值为 所以 综上，实数 取值范围是} 1 3 y . . x o 6 获得新知 对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将不等式中的变量和参数进行剥离，使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，可以将恒成立问题转化为求最值问题.即： 恒成立 恒成立 7 活学活用 练习2 关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围. 【解析】原不等式可化为在区间[2, 3]上恒成立， 记则问题转化为 因为 如图所示，在区间[2, 3]上， 所以 综上，所求的取值范围为 2 3 y . . x o 8 思考延伸 若将练习2中“”改为“”，即： 关于的不等式在时恒成立，求实数的取值范围. 9 二、双变量不等式恒成立 例题1 设. 如果，都有 ，求实数 的取值范围. 【解析】原不等式可化为 ⇔上恒成立， 函数单调递增，故 函数在上单调递减，故 所以 综上，所求的取值范围为 10 练习 练习 设.如果存在，使得，求实数 的取值范围. 【解析】原不等式可化为 ⇔上恒成立， 函数， 故 函数在上单调递减，在)上单 调递增，故