导数中的不等式恒成立问题端点效应与必要性探路专项训练-2024届高三数学二轮专题复习

高三数学专题：导数中的不等式恒成立问题端点效应与必要性探路 1.（2023年甲卷T21） 已知 . （1）当时, 讨论的单调性；（2）若, 求的取值范围. 2．（2022新高考2卷）已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求a的取值范围； （3）设，证明：． 3．已知函数． （1）当时，求函数在上的最小值； （2）若恒成立，求实数的值． 4.设函数. （1） 当时，判断是否为函数的极值点，并说明理由； （2） 当时，不等式恒成立，求的最小值. 5．已知函数． （1）当时，研究函数的单调性； （2）当时，恒成立，求a的取值范围． 导数中的不等式恒成立问题端点效应与必要性探路答案和解析 1.解析： (1) , . 令, 得 。 当时, 单调递增;当时, 单调递减，∴ 在区间 上单调递增, 在区间 上单调递减. (2) 方法1.求导硬解单调性 由于，且 注意到当即时，使在成立，故此时 单调递减 ∴，不成立. 另一方面： 当时, ，下证它小于等于0. 令 综上所述: . 2．解析：（2）必要性探路 由题知，因为，所以，解得，下面证明对且恒成立. 只需证明对恒成立对恒成立（令，则） ①对恒成立，设，则 ，所以，故①式成立，则的取值范围为 3．必要性分析：令，则. 考虑在处的三阶泰勒展开： ， 进一步整理可得： 考虑的临域内，的主要性态由其展开式的低次项决定，这样的话，若时，则在时，，而在时，，这与恒成立矛盾，于是，下面进行充分性证明. 充分性证明：定义域为，， 令，则， 若，由（1）知，则，在区间恒成立． 若，因为，，，，，则， 所以即是增函数．当时，，， 所以．又因为，所以存在正数，使得.当时，，是减函数，所以，不合题意． 若，因为，，，，．则，所以是增函数，当时，， ．又，所以存在正数，使得， 当时，，是增函数，所以，不合题意． 若，因为，，，，，则，是增函数．因为，所以当时，，不合题意．综上所述，实数的值为． 4.解:（1）当时，.令，则当时，. 即在内为减函数，且 ∴当时，;当时，. ∴在内是增函数，在内是减函数. 综上，是函数的极大值点. （2）由题意，得，即. 现证明当时，不等式成立，即. 即证，令 则 ∴当时，;当时，. ∴在内单调递增，在内单调递减， 的最大值为. ∴当时，.即当时，不等式成立. 综上，整数的最小值为. 5.解析：（1）因为，所以，所以函数的定义域为，且，构造函数，则， 令，得，∴当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．∴，∴， ∴当时，，所以当时，，当且仅当时等号成立， 所以当时，，当且仅当时等号成立， ∴，当且仅当时等号成立，∴，当且仅当时等号成立，∴在上单调递增． （2）∵，，等价于 ，令，，构造函数，∴，，．令，，， 注意到．当时，，∴，当时，，即当时，，所以在上单调递减，所以，不符合题意． 当时，令，，， ∴单调递增，则，当时，则，，单调递增，． ∴，单调递增，，符合题意．综上所述． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$