5.3 函数的单调性（10大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（苏教版2019必修第一册）

5.3 函数的单调 一、函数的单调性 1、单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为A.如果对于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值， 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间I上是单调递增函数。 当时，都有，那么就说函数f(x)在区间I上是单调递减函数。 2、单调性的图形趋势（从左往右） 上升趋势 下降趋势 3、函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 【注意】 （1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题， 故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． （2）单调区间I⊆定义域A. （3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大； （4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 二、函数的最大（小）值 1、定义：设函数的定义域为A， （1）如果存在，使得对于任意的，都有， 那么，我们称是函数的最大值，记为． （2）如果存在，使得对于任意的，都有， 那么，我们称是函数的最小值，记为． 2、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个． 三、单调性定义的等价形式: （1）函数在区间上是增函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. （2）函数在区间上是减函数: 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 四、定义法证明函数单调性 1、定义法证明函数单调性的步骤： （1）取值：设，为该区间内任意的两个值，且； （2）作差变形：作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形，一般化为积的形式； （3）定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论； （4）判断：根据定义做出结论。 2、利用定义证明函数的单调时，常用的变形技巧 （1）因式分解：当原函数是多项式函数时，作差后的变形通常进行因式分解； （2）当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行因式分解； （3）配方：当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方，便于判断符号； （4）分子有理化：当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化。 五、函数单调性的性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）: 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. （7）复合函数的单调性判定 对于符合函数，设在上单调，且在或上也单调，那么在的单调性如下表所示，简记为“同增异减”. 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 六、常见简单函数的单调性 函数 单调性 一次函数 当时，在R上单调递增；当时，在R上单调递减. 反比例函数 当时，在和上单调递减； 当时，在和上单调递增. 二次函数 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 题型一 对函数单调性的理解 【例1】（2023·北京·高一人大附中校考期中）“函数在区间上不是增函数”的一个充要条件是（ ） A．“存在a，，使得且” B．“存在a，，使得且” C．“存在，使得” D．“存在，使得” 【变式1-1】（2023·浙江宁波·高一校考期中）（多选）函数在是减函数，且，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·全国·高一专题练习）如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的有（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·全国·高一专题练习）（多选）下列命题中为真命题的是（ ） A．定义在上的函数，如果有无穷多个，当时，有，那么在上单调递增 B．如果函数在区间上单调递减，在区间上也单调递减，那么在区间上就一定单调递减 C．，且，当时，在上单调递减 D．，且，当时，在上单调递增 题型二 定义法证明函数单调性 【例2】（2023·河南郑州·高一校考期中）函数在区间内的单调性是 . 【变式2-1】（2023·全国·高一专题练习）用定义证明：函数在上是增函数． 【变式2-2】（2023上·青海海南·高一海南藏族自治州高