专题3-6 抛物线综合大题归类（讲+练）-【巅峰课堂】2023-2024学年高二数学热点题型归纳与培优练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题 3.6 抛物线综合大题归类 · 一、热考题型归纳 · 【题型一】 韦达定理常规型 · 【题型二】 抛物线技巧：点带入型 · 【题型三】 直线过定点型 · 【题型四】 定值型 · 【题型五】 抛物线切线型 · 【题型六】 斜率型：角平分线 · 【题型七】 斜率型：积定型 · 【题型八】 斜率型：和定型 · 【题型九】 斜率型：比值定型 · 【题型十】 面积最值型 · 二、培优练 热点考题归纳 【题型一】韦达定理常规型 【典例分析】 已知抛物线，焦点为F，直线交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q． (1)若抛物线C上有一点到焦点F的距离为3，求m的值； (2)是否存在实数m，使是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【提分秘籍】 利用韦达定理解决抛物线与直线相交的问题 （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 【变式演练】 已知抛物线上的点到的距离等于到直线的距离. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线与交于A、B两点，且，求直线的方程. 【题型二】抛物线技巧：点带入 【典例分析】 已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在坐标轴上，设是抛物线上一点． (1)求抛物线方程； (2)若抛物线的焦点在x轴上，过点M做两条直线分别交抛物线于A，B两点，若直线与的倾斜角互补，求面积的最大值． 【提分秘籍】 【变式演练】 如图所示，曲线，曲线，过点作直线交曲线于点A，交曲线于点B，若点C在曲线的准线上． (1)求； (2)若存在直线使点B为中点，求A点横坐标（用p表示）及斜率的范围． 圆锥曲线之间的综合问题 【题型三】直线过定点型 【典例分析】 已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点相同，为C的左、右焦点，M为C上任意一点，最大值为1． (1)求椭圆C的方程； (2)设不过点F2的直线l：y＝kx+m（m≠0）交椭圆C于A，B两点．若x轴上任意一点到直线AF2与BF2距离相等，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标． 【提分秘籍】 过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； （2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 【变式演练】 已知拋物线的焦点为，过点且斜率为的直线交于两点.当时，. (1)求的方程； (2)若关于轴的对称点为，当变化时，求证：直线过定点，并求该定点坐标. 【题型四】定值型 【典例分析】 设抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程； (2)若，为抛物线上异于点的两点，且，设直线的方程为，点，到直线的距离分别为，，求证：为定值. 【提分秘籍】 求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定点，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点． 【变式演练】 已知曲线C上的点都在y轴及其右侧，且C上的任一点P到y轴的距离比它到圆F：x2+y2﹣2x0的圆心的距离小1． (1)求曲线C的方程； (2)过点F分别作直线l1，l2，其中直线l1交曲线C于点A，B，直线l2交曲线C于点M，N，且直线AM过定点，求证：直线BN的斜率为定值． 【题型五】抛物线切线 【典例分析】 已知抛物线，，是C上两个不同的点． (1)求证：直线与C相切； (2)若O为坐标原点，，C在A，B处的切线交于点P，证明：点P在定直线上． 抛物线的综合问题 【提分秘籍】 如图，过点向抛物线引两条切线，切点分别为，则有： 结论1.直线的方程为. 结论2.若为准线上任一一点，则直线过抛物线的焦点.反之，过的直线与抛物线交于两点，以分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点的轨迹即为抛物线的准线.此时有. 结论3.直线的中点为，则平行于抛物线的对称轴. 【变式演练】 抛物线焦点为，过斜率为的直线交抛物线于，两点，且 (1)求抛物线的标准方程； (2)过直线上一点作抛物线两条切线，切点为，，猜想直线与直线位置关系，并证明猜想． 【题型六】斜率型：角平分线 【典例分析】 已知抛物线上第一象限的一点到其焦点的距离为2． (1)求抛物线C的方程和点坐标； (2)过点的直线l交抛物线C于A、B，若的角平分线与y轴垂直，求弦AB的长． 四川省德阳市第五中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学（理）试题 【提分秘籍】