专题2.10幂的运算与新定义问题大题培优专练-2023-2024学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】

2023-2024学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】 专题2.10幂的运算与新定义问题大题培优专练 班级：_____________ 姓名：_____________ 得分：_____________ 一．解答题（共30小题） 1．（2023秋•西城区校级期中）如果a c＝b，那么我们规定（a，b）＝c．例如；因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定填空：（3，27）＝　 　，（4，1）＝　 　； （2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．判断a，b，c之间的等量关系，并说明理由． 2．（2023秋•西城区校级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果a c＝b，那么（a，b）＝c． 例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．令（2，6）＝x，（2，7）＝y，（2，42）＝z， 求证：（2，6）+（2，7）＝（2，42）． 3．（2023秋•南岗区校级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果a c＝b，则（a，b）＝c．我们叫（a，b）为“雅对”． 例如：因为23＝8，所以 （2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式 （3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下： 设 （3，3）＝m，（3，5）＝n，则3 m＝3，3 n＝5， 故3 m⋅3 n＝3 m+n＝3×5＝15， 则 （3，15）＝m+n， 即 （3，3）+（3，5）＝（3，15）． （1）根据上述规定，填空：（2，4）＝　 　； （5，1）＝　 　； （3，27）＝　 　． （2）计算 （5，2）+（5，7）＝　 　，并说明理由． （3）利用“雅对”定义证明：（2 n，3 n）＝（2，3），对于任意自然数n都成立． 4．（2023秋•叙州区校级月考）对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果a x＝N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作：x＝log aN，例如：32＝9，则log39＝2，其中a＝10的对数叫做常用对数，此时log10N可记为lgN．当a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0时，log a（M•N）＝log aM+log aN． （1）解方程：log x4＝2． （2）log28＝　 　． （3）计算：lg2+1g5﹣2021． 5．（2023春•茂名期末）阅读下列材料： 若a，b两数满足a x＝b，则称x为b的“对数”，记作（a，b）＝x，如42＝16，所以（4，16）＝2． 请根据以上规定，回答下列问题： （1）根据上述规定要求，请完成填空： （3，27）＝　 　，（﹣2，16）＝　 　，（，　 　）＝3． （2）计算（3，2）+（3，4）＝（ 　 　，　 　），并写出计算过程； （3）直接写出结果： ①（5，10）﹣（5，2）＝　 　； ②（10，4）×（2，10）＝　 　． 6．（2023春•江南区校级期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为a m•a n＝a m+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：f（m）•f（n）＝f（m+n）（其中m、n为正整数）． 例如，若f（3）＝2，则f（6）＝f（3+3）＝f（3）•f（3）＝2×2＝4．f（9）＝f（3+3+3）＝f（3）•f（3）•f（3）＝2×2×2＝8． （1）若f（2）＝5， ①填空：f（6）＝　 　； ②当f（2n）＝25，求n的值； （2）若f（a）＝3，化简：f（a）•f（2a）•f（3a）•…•f（10a）． 7．（2023春•仪征市期末）阅读材料，完成问题． 如果a c＝b，则（a，b）＝c．例如：32＝9，则（3，9）＝2． （1）填空：（4，64）＝　 　，（﹣2，1）＝　 　，　 　； （2）试说明（5，3）+（5，7）＝（5，21）． 8．（2023春•泰兴市校级月考）规定两正数a，b之间的一种运算记作L（a，b），如果a c＝b，那么L（a，b）＝c． 例如：因为32＝9，所以L（3，9）＝2． 小明在研究这种运算时发现一个结论：L（a，）＝L（a，m）﹣L（a，n）． 小明给出了如下的证明： 设L（a，m）＝x，L（a，n）＝y， 由规定，得a x＝m，a y＝n， ∴a x÷a y＝a（x﹣y）， ∴L（a，）＝x﹣y， ∴L（a，）＝L（a，m）﹣L（a，n）． 请你解决下列问题： （1）填空：L（2，16）＝　 　，L（ 　 　，36）＝﹣2； （2）证明：L（3，5）+L（3，8）＝L（3，