导数专题训练：导数中的不等式恒成立与能成立的结合-2024届高三数学一轮复习

高三数学导数专题：导数中的不等式恒成立与能成立的结合 1．已知函数，若对于定义域内的任意实数s，总存在实数t使得，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为__________. 3．已知函数,,若对任意都存在使成立,则实数的取值范围是______. 4．已知函数 (1)若关于的方程在区间上恰有2个不同的实数解，求的取值范围； (2)设函数，若，总有成立，求的取值范围． 5．已知函数． (1)若曲线在点处的切线与直线：垂直，求； (2)若对，存在，使得有解，求的取值范围． 6．已知函数，，其中，． (1)试讨论函数的极值； (2)当时，若对任意的，，总有成立，试求b的最大值． 导数中的不等式恒成立与能成立的结合答案和解析 1.【答案】D【详解】由题意可知，的定义域为，因为对于定义域内的任意实数s，总存在实数t使得，所以函数在上没有最小值，，当时，当时，； 当时，；所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，取得最大值为，值域为，在内无最小值，因此.当时，令，，， 当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减.当时，取得最大值为，显然，即， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图所示当时，有两个根，不妨设，当或时，；当或时，； 所以在和上单调递减，在和上单调递增. 所以在与处都取得极小值，，不符合题意， 当时，，当且仅当，时取到等号， 当时，； 当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，取得最小值为，不符合题意， 综上所述，实数a的取值范围为故选：D. 【点睛】解决本题的关键是将问题转化为求函数没有最小值，利用导数法求函数的最值步骤，但在研究与的大小关系时，借住函数的图象，得出对分和两种情况讨论即可求解. 2．【答案】【详解】由题意得，时，故在上单调递增，，时，时 故在上单调递增，在上单调递减， ，解得 3．【答案】【详解】对任意都存在使成立， 所以得到，而，所以，即存在，使， 此时，，所以，因此将问题转化为存在，使成立， 设，则，，当，，单调递增， 所以，即，所以，所以实数的取值范围是. 4．【答案】(1)(2) 【分析】（1）已知关于的方程在区间上恰有2个不同的实数解，将其转化为曲线与直线在区间上恰有2个交点，通过求导判断单调性，再数形结合求解． （2）已知，总有成立，转化为，分别求与即可. 【详解】（1），，由得， 由题意，曲线与直线在区间上恰有2个交点．， 当时，；当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当值，取最小值，最小值为．， 又，∴． （2）由总有成立可知，所以在给定区间上，． 由（2）知在区间上，， ∵，当时，；当时，，∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∴，所以， ∴ ． 5．【答案】(1)(2) 【详解】（1）, 则,因为曲线在点处的切线与直线：垂直， 所以，解得：； （2），存在，使得有解，等价于当时，，，，当时，，即在上单调递增，所以，所以，即；当时，，易得在上单调递增， 故，即，恒成立，即，恒成立，令，则在上单调递增，所以当时，，所以；当时，，故在上单调递减，在上单调递增，所以，所以此时，恒成立， ①当时，恒成立，此时，②当时，，可转化为，，设，，，则，令，得，当，，令，，故在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，也是最大值，，即， ③当时，，可转化为，恒成立，即，， 设，，，，则，令，，令，，令，，故在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极小值，也是最小值，，即，又，所以，综上：的取值范围是. 【点睛】导函数解决不等式恒成立或能成立问题，参变分离是一种很重要的方法，注意参变分离时，乘以或除以某一项正数时，不等号方向不改变，若是负数，则要不等号方向改变，再构造函数，求出其单调性，极值和最值情况，从而求出参数的取值范围. 6．【答案】(1)答案见解析(2) 【详解】（1）由题意得的定义域为，．当时，在区间内恒成立，在区间内单调递增，无极值．当时，令，得；令，得．在区间内单调递增，在区间内单调递减， 在处取得极大值，且极大值为，无极小值．综上，当时，无极值；当时，的极大值为，无极小值． （2） 由知当时，的最大值为．由题意得，且在区间内单调递增．又，，根据零点存在定理可得，存在，使得，且当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，．，，两边取对数可得，．令，则当时，，即函数在区间内单调递减，故，，即，即．对任意的，，总有成立，，即，，即．又，故的最大值为0． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$