2.3垂径定理 教学设计 2022—2023学年湘教版数学九年级下册

九年级 数学 新授课型 第__章__课时，总第__课时 授课时间： 月 日周 教学内容：2.3垂径定理 教学目标： 1.理解圆是轴对称图形,由圆的折叠猜想垂径定理,并进行推理验证. 2.理解垂径定理,灵活运用定理进行证明及计算 重点：垂径定理及运用 难点：用垂径定理解决实际问题 学习内容及导学流程 方法指导或 行为提示 一、目标导学 教师出示一张图形纸片,回答: ①圆是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？ ②如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB于点M，能发现图中有哪些等量关系？（在纸片上对折操作） 复习导入 二、新知探究 （一）自学自研 阅读教材P58－59，完成下列各题： 1、垂径定理： 。 已知:直径CD,弦AB,且CD⊥AB,垂足为点M. 求证:AM=BM, 证明：如图，连接OA、OB, ∵ ，∴△AOB是等腰三角形 ∵CD⊥AB于点M ∴AM=BM，∠AOM=∠BOM（ ） ∵∠AOM=∠BOM ∴∠ ＝∠ ，∴ 2、垂径定理的应用： 例1：如图，弦AB＝8cm，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，DE＝2cm，求⊙O的直径CD的长。 分析：（1）在解决圆相关的问题时，通常会连接半径。 （2）要求直径可先求半径。 解：如图，连接 ，设⊙O的半径为rcm， 则 ＝ ＝r ∵DE＝2 ，∴OE＝ ∵AB＝8且CD⊥AB ∴AE＝ ＝× ＝ 在Rt△AOE中，由勾股定理可得， ＝ + 即 解得r＝ ∴⊙O的直径CD＝ ＝ 例2：证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 已知：如图，在⊙O中，弦AB与弦CD平行 求证： 证明：作 则 ∵AB//CD，EF⊥AB ∴ 。 ∴ 因此， 即 （二）合作共研 1、生生交流“自学自研”中的内容 2、师生共研 （1）反馈交流后的情况。 （2）根据反馈的情况，老师针对性的进行点评、讲解、点拨、归纳 垂径定理推论: 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 “遇圆连半径” 1、文字证明题要转化为用图形符号表述的证明题。 2、证明弧相等的方法： ①利用圆周角定理； ②利用垂径定理。 三、巩固提升 1、如图，⊙O的半径为13，弦AB的长度为24，ON⊥AB，垂足为N，则ON＝ 。 2、如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则∠OBA的度数是 。 3、如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），拱的半径为13m，拱高CD为8m，则拱桥的跨度AB的长为 m. 4、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，AE：PE＝1：5，求⊙O的半径。 5、如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD的长。 四、学后反思 本节课你有哪些收获呢？你还存在哪些疑惑呢？ 教师强调:①圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的任一条直线；②垂径定理及推论中注意“平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中的限制；③垂径定理的计算及证明，常作弦心距为辅助线，用勾股定理列方程；④注意计算中的两种情况 五、课后达标 1、如图，⊙O在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP＝ 。 2、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC，若AB＝10，CD＝8，则cos∠COE＝ 。 3、如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB为0.8m，则排水管内水的深度CD为 m。 4、如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB＝12，OM：MD＝5：8，则⊙O的周长为 。 5、如图，∠PAQ＝30°，在边AP上顺次截取AB＝3cm，BC＝10cm，以BC为直径作⊙O交射线AQ于E、F两点，求：（1）圆心O到AQ的距离；（2）线段EF的长。 6、如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D。 （1