专题05 类比归纳专题：切线证明的常用方法压轴题二种模型全攻略-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学下册压轴题攻略(浙教版）

专题05 类比归纳专题：切线证明的常用方法压轴题二种模型全攻略 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【类型一 有切点，连半径，证垂直】 1 【类型二 无切点，作垂直，证半径】 15 【典型例题】 【类型一 有切点，连半径，证垂直】 例题：（2023上·广东江门·九年级江门市怡福中学校考期中）如图，是的直径，点C是劣弧中点，与相交于点E．连接，，与的延长线相交于点F． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，求的长． 【变式训练】 1．（2023上·北京西城·九年级北师大实验中学校考期中）如图，是的直径，直线经过上的点，于点，交于，平分．    (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 2．（2023上·江苏常州·九年级统考期中）如图，在中，，过点D作于点E，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 3．（2023上·北京朝阳·九年级北京八十中校考期中）如图，是的外接圆，AB是的直径，于点E，P是AB延长线上一点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 4．（2023上·北京·九年级北京八中校考期中）如图，为的直径，C为上一点，于点E，交于点F，直线与直线交于点H，平分．    (1)求证：是的切线，； (2)若F为中点，半径为2，求的长． 5．（2023上·浙江台州·九年级台州市书生中学校考期中）如图，四边形内接于，是的直径，点在的延长线上，延长交的延长线于点，点是的中点，．    (1)求证：是的切线； (2)求证：是等腰三角形； (3)若，，求的长． 6．（2023·广东湛江·统考三模）如图是直径，A是上异于C，D的一点，点B是延长线上一点，连、、，且．      (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的值； (3)在（2）的条件下，作的平分线交于，交于，连、，若，求的值． 【类型二 无切点，作垂直，证半径】 例题：（2022春·广东广州·九年级广州市第八十九中学校考开学考试）如图，在中，，是的角平分线，以为圆心，为半径作，求证：是的切线．    【变式训练】 1．（2023秋·广东河源·九年级校考期末）如图，为的角平分线上的一点， 于点，以为圆心为半径作，求证：与相切． 2．（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）如图中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作交于点． (1)求证：与相切； (2)若，，试求的长． 3．（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，是等腰直角三角形，，点O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)延长交于点G，连接交于点F，若，求的长． 4．（2022秋·九年级单元测试）如图，是的直径，，分别切于点，，交，于点，，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 5．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）如图，点为正方形对角线上一点，以为圆心，的长为半径的与相切于点． (1)求证：与相切； (2)若的半径为，求正方形的边长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 类比归纳专题：切线证明的常用方法压轴题二种模型全攻略 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【类型一 有切点，连半径，证垂直】 1 【类型二 无切点，作垂直，证半径】 15 【典型例题】 【类型一 有切点，连半径，证垂直】 例题：（2023上·广东江门·九年级江门市怡福中学校考期中）如图，是的直径，点C是劣弧中点，与相交于点E．连接，，与的延长线相交于点F． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据直径所对的角是直角及等腰三角形转换得，即可得证； （2）根据同弧或等弧所对的角相等，以及平行线的判定和性质，推论转化得证； （3）设交于H，先证明，利用垂径定理得到，则，设，则，利用勾股定理建立方程解方程求出，再证明是中位线，则． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）证明：∵点C是劣弧中点， ∴， ∴， ∵ ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：设交于H， ∵，， ∴， ∴点H为的中点， ∵ ∴， ∵， ∴， 设，则， 根据勾股定理得， ∴ 解得：， ∴， ∵H、O分别是的中点， ∴是中位线， ∴． 【点睛】本题考查了圆和三角形的综合问题，考查圆的切线的判定定理，直径所对的圆周角是直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理，勾股定理等知识，利用同弧或等弧所对的圆周角相等以及勾股定理列出方程，是解决问题的关键． 【变式训练】 1．（2023上·北京西城·九年级北师大实