专题06 难点探究专题：利用二次函数求面积、周长最值问题之四大考点-学霸满分·2023-2024学年九年级数学下册重难点专题提优训练（苏科版）

专题06 难点探究专题：利用二次函数求面积、周长最值问题之四大考点 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【考点一 利用二次函数求面积最大值问题】 1 【考点二 利用二次函数求面积最小值问题】 11 【考点三 利用二次函数求周长最大值问题】 19 【考点四 利用二次函数求周长最小值问题】 31 【典型例题】 【考点一 利用二次函数求面积最大值问题】 例题：（23·24上·淮南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)当点运动到什么位置时，使的面积最大，求出点的坐标和的面积最大值． 【变式训练】 1．（23·24上·大同·阶段练习）综合与探究 如图二次函数与直线交于、两点，已知：、，二次函数的图象与轴的另一个交点为点，点在直线上方的抛物线上运动，过点作轴的平行线交于点．    (1)求直线与抛物线的解析式； (2)设四边形的面积为，求的最大值及此时点的坐标． 2．（23·24上·中山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)若点P为第二象限内抛物线上一动点，过点P作轴，交于点Q，设点P的横坐标为，的面积为S，求S关于的函数关系式，并求出S的最大值． 3．（23·24上·邯郸·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．    (1)直接写出抛物线的解析式：______； (2)D是第一象限内抛物线上的一个动点(与点C、B不重合)，连接．设点D的横坐标为，的面积为S． ①求S关于的函数关系式及自变量的取值范围； ②当为何值时，S有最大值，并求这个最大值． 4．（23·24上·江门·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的交点为，两点，与y轴交于点，顶点为D，其对称轴与x轴交于点E．    (1)求二次函数解析式及顶点D坐标； (2)点P为第三象限内抛物线上一点，的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标； (3)在线段上，是否存在点F，使为等腰三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（23·24上·省直辖县级单位·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，顶点为．直线l与抛物线交于，两点，其中点的坐标为． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)直线与抛物线的对称轴交于点，为线段上一动点（点不与点，重合），过点作交抛物线于点，设点的横坐标为． ①当为何值时，四边形是平行四边形； ②设的面积为，当为何值时，最大？最大值是多少？ 【考点二 利用二次函数求面积最小值问题】 例题：（2023·黑龙江鸡西·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出抛物线顶点Р的坐标； (2)D是抛物线上位于第四象限内的一点，连接，E是的中点，连接，，直接写出面积的最小值． 【变式训练】 1．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为，四边形的面积为．    (1)求关于的函数表达式； (2)当取何值时，四边形的面积为10？ (3)四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 2．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）已知抛物线交x轴于，，与y轴交于点C．      (1)求b，c的值； (2)已知P为抛物线一点（不与点B重合），若点P关于x轴对称的点恰好在直线上，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，平移抛物线，使其顶点始终在直线上，且与相交于点Q，求面积的最小值． 3．（2023·广西玉林·统考一模）我们不妨约定：二次函数与轴交于、两点，其中为顶点，当为等腰直角三角形时，我们称二次函数为“等腰直角函数”． (1)证明为“等腰直角函数”； (2)如图，在（1）的“等腰直角函数”图象中，过中点的直线与二次函数相交于，两点，求面积的最小值； (3)如图，、为“等腰直角函数”上不重合的两个动点，且关于过原点的直线对称，当点的横坐标为时，求出点的坐标． 【考点三 利用二次函数求周长最大值问题】 例题：（2022·广西贵港·统考三模）如图，已知抛物线经过点和点，P是直线AB下方抛物线上的一个动点， PC∥y轴与AB交于点C，PD⊥AB于点D，连接PA． (1)求抛物线的表达式； (2)当△PCD的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PCD周长的最大值； (3)当△PAC是等腰三角形时，请直接给出点P的坐标． 【变式训练】 1．（2023下·海南海口·九年级海口市第九中学校考阶段