13.4 课题学习 最短路径问题（讲+练，2大题型）-【划重点】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（人教版）

13.4 课题学习 最短路径问题 1.能运用“两点之间,线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短”探索最短路径问题 2.能运用“三角形两边之和大于第三边”说明关于最短路径的选址问题的道理,会运用图形的轴对称、平移等变换转化图形,进而利用数学模型解决实际问题 知识点一 最短路径问题 问题 作法 最小值 类型1 在直线上找一点,使最小 连接,与直线的交点即为点 的最 小值为的值 类型2 在直线上求一点 ,使最小 作点关于直线的对称点,连接,与直线的交点即为点 的最小值为的值 类型3 在直线, 上分别求点 使的周长最小 分别作点P关于两直线,的对称点,连接,与两直线的交点即为点 周长的最小值为的值 类型4 在直线直线,上分别求点,使四边形 的周长最小 分别作点关于直线的对称点,连接，与两直线的交点即为点 四边形PMNQ周长的最小值为+的值 最短路径的求解原理:两点之间，线段最短 即学即练如图，山娃星期天从处赶了几只羊到草地吃草，然后赶羊到小河饮水，之后再回到处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为他设计一条最短的路线，标明吃草与饮水的位置．    知识点二 “造桥选址”问题 解决“造桥选址”问题，一般用平移的方法,利用平移前后的对应线段相等,把未知的线段转换到一条直线上,再结合“两点之间，线段最短”解决问题. 即学即练（2023上·八年级课时练习）如图所示，某条护城河在处角转弯，河宽相同，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使到的路程最短，请确定两座桥的位置．    题型一 解决最短路径的选址问题 例1如图所示，从A地到B地要经过一条小河（河的两岸平行），现要在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何选择桥的位置，才能使从A地到B地的路程最短？    举一反三1如图，A．B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 举一反三2如图，村庄A，B位于一条小河的两侧，若河岸a，b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？ 题型2 周长最值问题 例2（2022上·江苏徐州·八年级校考期中）如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的中点，为线段上一动点，则的周长最短为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．8 举一反三1（2023上·北京海淀·八年级北京市十一学校校考期中）如图，已知，在的内部有一点P，A为上一动点，B为上一动点，，当的周长最小时， 度，的周长的最小值是 ．    举一反三2（2023上·江苏宿迁·八年级桃州中学校考阶段练习）如图，在的正方形网格中，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．    (1)在图中作出关于直线l对称的（要求A与，B与，C与相对应） (2)在直线l上找一点P，使得的周长最小 (3)的面积为 ． 一、单选题 1．（2023上·江苏苏州·八年级校联考阶段练习）如图，四边形中，，，M，N分别是，上的点，当的周长最小时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2023上·湖北武汉·八年级统考期中）、、为三个小区，、、三个小区的学生人数比为，现在要在所在的平面上建造一个学校，使得所有学生走的路程和最短，则学校应该选在（    ）    A．点处 B．三条中线的交点处 C．点处 D．和的角平分线的交点处 3．（2023上·吉林·八年级校联考期中）如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P，使最短，则点P应选在（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 4．（2023上·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，A、B、C是一条公路上的三个村庄，A、B间的路程为，A、C间的路程为，现要在A、B之间建一个车站P，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在何处？（    ）    A．点C处 B．线段之间 C．线段的中点 D．线段之间 5．（2022上·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期中）某市计划在公路l旁修建一个飞机场M，现有如下四种方案，则机场M到A、B两个城市之间的距离之和最短的方案是（    ） A．   B．   C．   D．   6．（2022上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如下图，直线是一条河，是两个村庄．欲在上的某处修建一个水泵站，向两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（    ） A．   B．   C．   D． 二