13.4 课题学习 最短路径问题 分层作业 2023-2024学年数学人教版八年级上册

13.4　课题学习　最短路径问题 【练基础】 必备知识 最短路径问题 1.【2022·张家口月考】如图,A、B是两个居民小区,快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心,使PA+PB最短.下面四种选址方案符合要求的是 ( ) A　　　　　　　　B C　　　　　　　　D 2.如图,已知∠O,P为其内一定点,分别在∠O的两边上找点A,B,使△PAB周长最小的是 ( ) A　　　　B　　　　C　　　　　D 3.如图,在△ABC中,AB=4,AC=3,BC=5,EF是BC的垂直平分线,P是直线EF上的任意一点,则PA+PC的最小值是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 4.如图所示的4×4的正方形网格中,有A,B两点,在直线a上求一点P,使PA+PB最短,则点P应选 ( ) A.点C B.点D C.点E D.点F 【练能力】 5.如图,在等边△ABC中,点D,E,F分别在边BC,AB,AC上,则线段DE+DF的最小值是 ( ) A.BC边上高的长 B.线段EF的长度 C.BC边的长度 D.以上都不对 6.如图,在△ABC中,AB⊥AC,AB=3,BC=5,AC=4,EF垂直平分BC,P为直线EF上的任意一点,则△ABP周长的最小值是 ( ) A.12 B.6 C.7 D.8 7.【2022·邯郸期末】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AB上一点,DE∥CB,交AC于点E,P是EC上的一个动点, 要使PD+PB最小,则点P应该满足 ( ) A.PB=PD B.PC=PE C.∠BPD=90° D.∠CPB=∠DPE 8.如图,∠AOB=30°,OC为∠AOB内部的一条射线,P为射线OC上的一点,OP=4,M,N分别为OA,OB边上的动点,则△MNP周长的最小值为 ( ) A.2 B.4 C.3 D.5 9.如图,等腰△ABC的底边BC的长为2,面积为5,底AC的垂直平分线EF分别交边AC,AB于点E,F.若D为BC边中点,M为线段EF上一动点,则DM+CM的最小值为　 .  10.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=5,S△ABC=20,AD⊥BC于点D,EF垂直平分AB,交AC于点F,在EF上确定一点P,使PB+PD最小,则这个最小值为　 .  11.如图,B,C两点关于y轴对称,点A的坐标是(0,b),点C坐标为(-a,-a-b). (1)直接写出点B的坐标:　 .  (2)用尺规作图,在x轴上作出点P,使得AP+PB的值最小. (3)∠OAP的度数为　.  【练素养】 12.如图,某大学建立分校,校本部与分校隔着两条平行的小河,l1∥l2表示小河甲,l3∥l4表示小河乙,A为校本部大门,B为分校大门,为方便人员来往,要在两条小河上各建一座桥,桥面垂直于河岸.请你说明两桥应建在何处可使A,B两点间来往的路程最短? 13.如图1,点P在∠AOB内,M,N分别是点P关于AO,BO的对称点,MN分别交OA,OB于点E,F. (1)猜想△MON是哪种类型的三角形,并说明理由. (2)猜想△PEF的周长与MN的长有什么关系,并说明理由. (3)如图2,若∠AOB=30°,点P在∠AOB内,OP=a cm,M,N分别是点P关于AO,BO的对称点,E,F分别是射线OA,OB上的一点,连接PE,PF和EF.求△PEF周长的最小值.(用含a的式子表示) 2 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 练基础 1.A　2.D　3.B　4.A 练能力 5.A　6.C　7.D　8.B 9.5 10.8 11.【解析】(1)(a,-a-b). (2)如图,点P即所求. (3)45°. 提示:过B作BD⊥y轴于点D,D(0,-a-b),则BD=-a,OD=-a-b,由(2)知A与A'关于x轴对称,∴A'O=AO=b,∴A'D=BD.在Rt△A'DB中,∠A'DB=90°,A'D=BD,∴∠BA'D=∠B=45°.∵点A与点A'关于x轴对称,∴∠OAP=∠DA'P=45°. 练素养 12.【解析】如图, 把点A向下平移河甲的宽度后得到点A',把点B向上平移河乙的宽度后得到点B',连接A'B'交l2于点D,交l3于点E,作CD⊥l1于点C,EF⊥l4于点F,连接AC,BF.则在CD,EF处建桥就是使得点A到点B总路程最短的桥的位置. 13.【解析】(1)△MON是等腰三角形. 理由:如图1,连接OP. ∵M,N分别是点P关于AO,BO的对称点, ∴OM=OP,ON=OP, ∴OM=ON,即△MON是等腰三角形. (2)△PEF的周长等于MN的长. 理由:∵M,N分别是点P关于AO,BO的对称点, ∴ME=PE,NF=PF, ∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=