13.3.2 等边三角形（讲+练，7大题型）-【划重点】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（人教版）

13.3.2 等边三角形 1. 了解等腰三角形和等边三角形的概念 2. 掌握等腰三角形和等边三角形的性质定理和判定定理 3. 掌握有一个角是30°的直角三角形的性质 知识点一 等边三角形 1.概念 我们知道，三条边都相等的三角形叫做等边三角形(equilateral triangle).如图 ,AB=BC=AC,△ABC是一个等边三角形. 2.等边三角形于等腰三角形的关系 等边三角形是一类特殊的等腰三角形 3.等边三角形的对称性 等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴. 4.常见轴对称图形及其对称轴 名称 图形及其对称轴 对称轴的条数 对称轴 角 1 角平分线所在的直线 等腰三角形 1 底边上的高(顶角平分线或底边上的中线)所在的直线 等边三角形 3 各边上的高(内角平分线或中线)所在的直线 等腰梯形 1 上、下底的中点的连线所在的直线 圆 无数 过圆心的直线 正方形 4 ①对角线所在的直线;②对边中点的连线所在的直线 正五边形 5 顶点与对边中点的连线所在的直线 正六边形 6 ①相对的两顶点的连线所在的直线;②对边中点的连线所在的直线 注意 (1)对称轴是一条直线,不是射线或线段. (2)一个轴对称图形的对称轴可以有 1条,也可以有多条,还可以有无数条 (3)轴对称图形是对于一个图形而言的，反映的是其自身的对称性 即学即练 如图，在中，，D，E分别是上的点，且．是的角平分线．点D，E关于对称吗？与有怎样的位置关系？请说明你的判断． 知识点二 三等边三角形及其性质 1.等边三角形的性质 等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60° 3.数学语言:如图所示，在△ABC中，∵AB=AC=BC,∴∠A=∠B=∠C=60° 注意： (1)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴; (2)等边三角形任意一边上的中线、高和对应角的平分线都互相重合,简称“三线合一” 即学即练1 如图，等边三角形中，点D为边的中点，过点C作，且，那么吗？请说明理由． 即学即练2 如图，△ABC 是等边三角形，D 是 AB 边上一点，以 CD 为边作等边三角形 CDE，使点E，A 在直线 DC 同侧，连接 AE．求证： （1）△AEC≌△BDC； （2）AE∥BC． 即学即练3 如图：是边长为6的等边三角形，是边上一动点．由点向点运动（与点，不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于点，连接交于点． (1)若设的长为，则____________； (2)当时，求的长； (3)过点作交延长线于点，则，有怎样的数量关系？说明理由． (4)点，在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 知识点三 等边三角形的判定 1.定义判定法 三边都相等的三角形是等边三角形 2. 三个角都相等的三角形是等边三角形 数学语言:如图所示,在△ABC中，∠A=∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形. 3. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 数学语言:如图所示,在△ABC中，∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60或∠C=60°)， ∴△ABC是等边三角形. 即学即练1下列三角形： ①有两个角等于的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有（     ） A．①②③ B．①② C．①③ D．①②③④ 即学即练2 如图，在等边△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，BO、OC的垂直平分线分别交BC于E和F，求证：BE＝EF＝FC． （补充）知识点四 直角三角形 我们知道,有一个角是直角的三角形叫做直角三角形(right triangle),直角三角形可以用符号“Rt△”表示,如图所示的三角形可记为Rt△ABC 知识点五 直角三角形性质定理 （1） 直角三角形性质定理1 直角三角形的两个锐角互余 因为“三角形三个内角的和等于 180°”,直角三角形两个锐角的和为180-90°=90° （2） 直角三角形性质定理2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （3） 直角三角形性质定理3（含 30°角的直角三角形的性质） 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 即学即练1如图，将直尺与含角的三角尺叠放在一起，，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 即学即练2 （2022秋·浙江台州·八年级校联考期中）如图，在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，则的长等于(    )    A．1 B． C．2 D． 即学即练3 （2023