13.3.1 等腰三角形（讲+练，15大题型）-【划重点】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（人教版）

13.3.1 等腰三角形 1. 了解等腰三角形和等边三角形的概念 2. 掌握等腰三角形和等边三角形的性质定理和判定定理 3. 掌握有一个角是30°的直角三角形的性质 知识点一 等腰三角形 1. 概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形 (isosceles triangle).如图,在△ABC中,AB=AC △ABC是等腰三角形 即学即练1 如图，点D在AC上，，．你能在图中找到几个等腰三角形？分别说出每个等腰三角形的腰、底边和顶角． 即学即练2 已知线段a，b（如图）．用直尺和圆规作等腰三角形，使，． 即学即练3 求证：等腰三角形两腰上的中线相等． 已知：如图，在中，，分别是腰上的中线．求证：． 知识点二 等腰三角形的性质 1.性质1 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”). 数学语言:如图所示,在△ABC中，∵AB=AC,∴∠B=∠C. 拓展：由“等腰三角形的两个底角相等”,可以得到以下推论:等边三角形的各个内角都等于 60° 2.性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)数学语言:如图所示,在△ABC中， (1) ∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴ (2) ∵AB=AC，BD=CD，∴∠BAD =∠CAD，ADBC; (3) ∵AB=AC,ADBC,∴∠BAD =∠CAD,BD=CD. 知识点三 等腰三角形的其他性质 (1)等腰三角形两腰上的中线、高分别相等 (2)等腰三角形两底角的平分线相等 (3)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高 (4)当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形,它的两条直角边相等,两个锐角都是45° 注意： (1)应用“三线合一”性质的前提是在等腰三角形中,且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角平分线.等腰三角形一腰上的高与中线不一定重合. (2)等腰三角形是轴对称图形顶角平分线(或底边上的高,或底边上的中线)所在的直线是它的对称轴 即学即练1 （2021春·福建漳州·八年级福建省诏安县第二实验中学校考阶段练习）已知等腰三角形的一个角为40°，求它另外两个角的度数． 即学即练2 （2023春·山东青岛·八年级统考期末）等腰三角形的一个角100°，它的另外两个角的度数分别为 ． 知识点四 等腰三角形的对称性 当我们沿着等腰三角形ABC的顶角平分线AD所在的直线把△ABC对折时，因为∠BAD=∠CAD,所以射线AB与AC 重合，又因为AB=AC,所以点B与点C重合,即直线AD 两侧的形能够完全重合. 因此我们有下面的结论:等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在的直线是它的对称轴. 知识点五 等腰三角形的判定定理 1.等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对边”). 数学语言:在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB =AC(等角对等边) 注意:等角对等边的前提是“在同一个三角形中”. 2.“等边对等角”与“等角对等边”的区别 由三角形的两边相等得出它们所对的角相等,是等腰三角形的; 由三角形有两角相等得出它是等腰三角形,是等腰三角形的 等腰三角形的性质:两边相等这两边所对的角相等. 等腰三角形的判定:两角相等这两角所对的边相等. 即学即练1如图，在中，，是的角平分线，过点D作交于点E． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，直接写出图中所有顶角是锐角的等腰三角形． 角平分线＋平行线=等腰三角形 当题目中出现角平分线、平行线这两个条件时，一般会有等腰三角形出现,记住这个基本图形,有助于解题， 即学即练2如图，在直角三角形中，，，点、在上，如果，，那么图中的等腰三角形共有个．（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型1 等腰三角形的定义 例1（2023上·广东广州·八年级广州市骏景中学校考期中）如图，是等腰三角形，点O是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为8，面积为20，则的值为（    ）    A．5 B．7.5 C．9 D．10 举一反三1（2023上·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）在平面直角坐标系中，点，点，点．若是等腰直角三角形且，当时，点的横坐标的取值范围是（    ） A． B． C． D． 举一反三2（2023上·江苏泰州·八年级校考期中）如图，在中，则为 _____ 题型2 作等腰三角形（尺规作图） 例2（2022下·北京·九年级校联考阶段练习）已知：如图1，已知线段和线段． 求作：等腰，使得，，于，．    (1)如图2，首先作射线，在截取：接下来，请使用直尺和圆规，在图2中作出的垂直平分线，使交于点，再作出满足条件的一个等腰，使得点在线段上方（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明