4.5.2 用二分法求方程的近似解（同步课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

4.5 函数的应用(二) 4.5.2 用二分法求方程的近似解 第四章 指数函数与对数函数 情境引入 我国古代数学家已经比较系统地解决了某些类型方程求解的问题，国外数学家对方程的求解也有很多研究，使得方程求解的方法越来越完善.但是指数方程、对数方程等超越方程和五次以上的高次代数方程不能用对数运算求解，不过其数值解法随着现代计算技术的发展得到了广泛的应用，比如本节介绍的“二分法”，就是一种常见的利用计算技术的数值解法. 问题1：我们已经知道，函数在区间内存在一个零点.进一步的问题是，如何求出这个零点呢？ 新知探索 问题1：我们已经知道，函数在区间内存在一个零点.进一步的问题是，如何求出这个零点呢？ 一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定的精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值.为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围. 大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解.在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解. 新知探索 取的中点2.5，用计算工具算得因为，所以零点在区间内. 再取区间的中点2.75，用计算工具算得因为，所以零点在区间内. 问题1：我们已经知道，函数在区间内存在一个零点.进一步的问题是，如何求出这个零点呢？ 一般地，称为区间的中点. 新知探索 由于，所以零点所在的范围变小了.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小.这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在的范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内任意一点都可以作为函数零点的近似值.为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值. 问题1：我们已经知道，函数在区间内存在一个零点.进一步的问题是，如何求出这个零点呢？ 新知探索 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 0.215 0.066 -0.009 0.029 0.010 0.001 新知探索 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 0.215 0.066 -0.009 0.029 0.010 0.001 例如，当精确度为时，因为， 所以区间内任意一点都可以作为零点的近似值，也可以将作为函数零点的近似值，也即方程的近似值. 新知探索 对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 注：判断一个函数能否用二分法的依据是： 其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点的近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用. 新知探索 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： 1.确定零点初始区间，验证. 2.求区间的中点. 3.计算，并进一步确定零点所在的区间： (1)若(此时)，则就是函数的零点； (2)若(此时)，则令 (3)若(此时)，则令 4.判断是否达到精确度：若，则得到零 点近似值(或)；否则重复步骤. 由函数零点与相应方程解的关系，我们可用二分法来 求方程的近似解. 为了刻画与准确值的接近程度，这里给出了精确度，由可知，区间中任意一个值都是零点满足精确度的近似值(想一想，为什么). 例析 例2.借助信息技术，用二分法求方程的近似解(精确度为0.1). 解：原方程即，令，用信息技术画出函数的图象，并列出它的对应值表. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -6 -2 3 10 21 40 75 142 273 观察图或表，可知，说明该函数在区间内存在零点. 例析 例2.借助信息技术，用二分法求方程的近似解(精确度为0.1). 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -6 -2 3 10 21 40 75 142 273 取区间的中点，用信息技术算得.因为，所以 再取区间的中点，用信息技术算得.因为，所以 同理可得，，. 由于，所以，原方程的近似解可取为1.375. 例析 由例2可见，用二分法求方程的近似解，计算量较大，而且是重复相同的步骤.因此，可以通过设计一定的计算程序，借助信息技术完成计算.下图就是表示二分法求方程近似解过程的程序框图.有兴趣的同学，可以在此基础上用有关算法语言编写程序，利用信息技术求方程的近似解. 练习 题型一：二分法的概念 答案：根据零点存在定理可知，函数在上连续，且，则函数在上存在零点，所以，不可以用二分法求零点的选项为ABC.故选ABC. 例1.下图4个函数的图象的零点不能用二分法求近似值的是（  ）. A．    B．   C．    D．  练习 方法技