第5章 二次函数 讲义 2023—2024学年苏科版数学九年级下册

二次函数 题型一：二次函数的定义 1．下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成，，为常数，的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是． 【详解】解：A．是一次函数，故不符合题意； B．当时是一次函数，故不符合题意； C．是二次函数，故符合题意； D．是一次函数，故不符合题意 故选：C． 2．已知函数． (1)若这个函数是关于的一次函数，求的值． (2)若这个函数是关于的二次函数，求的取值范围． 【答案】(1)当时，这个函数是关于的一次函数 (2)当且时，这个函数是关于的二次函数 【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题； （2）根据二次函数的定义即可解决问题． 【详解】（1）解：依题意，得，解得， ∴当时，这个函数是关于的一次函数． （2）解：依题意，得，解得且， ∴当且时，这个函数是关于的二次函数． 3．已知函数， (1)当为何值时，此函数是一次函数？ (2)当为何值时，此函数是二次函数？ 【答案】(1)(2)且 【分析】（1）一般地，形如（，为常数）的函数，叫做一次函数，根据一次函数的定义进行作答即可． （2）形如 （为常数，且）的函数，叫二次函数．根据二次函数的定义进行作答即可． 【详解】（1）解：若函数为一次函数， 则有， 解得， 所以，当时，此函数是一次函数； （2）解：若函数为二次函数， 则有， 解得且， 所以，当且时，此函数是二次函数． 题型二：求二次函数解析式 1．已知二次函数的图象经过，两点． (1)求和的值； (2)试判断点是否在此函数图象上？ (3)求该二次函数的对称轴及顶点坐标． 【答案】(1)(2)不在在此函数图象上(3)顶点坐标为，对称轴为直线 【分析】（1）已知了抛物线上两点的坐标，可将其代入抛物线中，通过联立方程组求得、的值； （2）将点坐标代入抛物线的解析式中，即可判断出点是否在抛物线的图象上． （3）将解析式化为顶点式，即可求解． 【详解】（1）解：把，两点代入二次函数得 ， 解得，； （2）解：由（1）得， 把代入，得， 点在不在此函数图象上． （3）解：∵ ∴顶点坐标为，对称轴为直线． 2．已知抛物线的对称轴是直线，且过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)x在什么范围内，y随x增大而减小？该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值． 【答案】(1) (2)当时，y随x的增大而减小，抛物线有最大值0 【分析】此题考查的是二次函数的综合题， （1）根据对称轴为直线可知抛物线为，将代入解析式中，即可求出结论； （2）根据二次函数的图象及性质由对称轴位置、顶点坐标和开口方向，即可求出结论． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线为 又∵抛物线过点， ∴， 即， 解得 ， 所以该抛物线的解析式为． （2）∵， ∴开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而减小，抛物线有最大值， ∵抛物线的顶点为， ∴当时，函数有最大值． 3．二次函数图象的顶点坐标是，且抛物线经过点． (1)求此抛物线的解析式； (2)写出它的开口方向，对称轴、最值． 【答案】(1)(2)开口向下，对称轴为直线，最大值为5 【分析】（1）设抛物线的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数图象与性质求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 将代入上式得， ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）根据抛物线， ∵， 则抛物线开口向下， 对称轴为直线，顶点坐标为， 当时函数的最大值为5． 4．根据下列条件分别求出抛物线的解析式（最后结果要化成一般式）． (1)抛物线过点，，，三点； (2)抛物线的顶点坐标是，且过点． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）设出抛物线一般形式，确定出的值，即可得到解析式； （2）设出抛物线顶点形式，确定出a的值，即可得到解析式． 【详解】（1）抛物线过点，，三点 解得： ∴所求抛物线的解析式为:． （2）∵抛物线的顶点坐标是 ∴设所求抛物线的解析式为: ∵设所求抛物线过点 解得： ∴所求抛物线的解析式为： 化成一般式为：． 5．已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为 ． 【答案】或 【分析】根据抛物线的图象与系数之间的关系得出，，，即可得出结果． 【详解】解：设这条抛物线的解析式为：， ∵这条抛物线与抛物线的顶点坐标相同， ∴，， 又∵这条抛物线与抛物线形状相同， ∴，即， ∴这条抛物线的解析式为：或， 故答案为：或． 题型三：函数的图像和性质 1．已知二次函数，解答下列问题：    (1)根据已知的图象部分画出