特训05 几何证明压轴题（七大母题型归纳）-2023-2024学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训05 几何证明压轴题（七大母题型归纳） 目录： 题型1：垂直平分线的性质与判定在全等三角形、等腰三角形中的应用 题型2：角平分线的性质与判定在全等三角形、等腰三角形中的应用 题型3：直角三角形的性质与判定在全等三角形、等腰三角形中的应用 题型4：勾股定理在全等三角形、等腰三角形中的应用 题型5：几何证明与平面直角坐标系 题型6：勾股定理与代数问题 题型7：勾股定理与弘图有关的计算题 题型1：垂直平分线的性质与判定在全等三角形、等腰三角形中的应用 1．八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．    【阅读理解】如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用与全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证与全等的判定方法是：__________；中线的取值范围是__________． 【阅读感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【理解与应用】如图2，在中，，点是的中点，点在边上，点在边上，若．证明：． 【问题解决】如图3，在中，点是的中点，，，其中，连接，探索与的关系，并说明理由． 2．如图1，四边形中，，，，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为，将四边形的直角沿直线l折叠，点C落在点D处（如图1） (1)若点D与点A重合，则 ， ． (2)若，四边形的直角沿直线l折叠后（如图2），点B落在四边形的边AB上的E处，直线l与AB相交于点F，猜想OF、EF、AB三者数量关系，并证明． (3)若折叠后点D恰为AB的中点（如图3），求的度数； 3．在中，，D为延长线上一点，点E为线段的垂直平分线的交点，连接． (1)如图1，当时，则______； (2)当时， ①如图2，连接，判断的形状，并证明； ②如图3，直线与交于点F，满足．P为直线上一动点．当的值最大时，用等式表示与之间的数量关系为______，并证明． 题型2：角平分线的性质与判定在全等三角形、等腰三角形中的应用 4．如图，在中，，点、分别在、上，且满足，延长交于点．    (1)如图1，若，平分； ①求的度数； ②求证：； (2)如图2，过点作，交的延长线于点，若，，记的面积为，的面积为，则的值为______．（用含、的式子表示）． 5．如图，和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，其中．    (1)如图1，点在边上，若，求的长． (2)若等腰绕点C旋转后得到等腰，如图2所示，连接，交于点O，求证：． (3)若等腰绕点旋转后得到等腰，如图3所示，连接，点是中点，连接并延长交于． ①求证：； ②若，求的面积． 6．如图，与为等腰直角三角形，，．，，，连接，．    (1)如图1，若，，则的度数为______； (2)如图2，若A，D，E三点共线，与交于点F，且，，求的面积； (3)如图3，若A，D，E三点不共线，与交于点F，连接并延长交于点G，是一个固定的值吗？若是，直接写出的度数，若不是，请说明理由． 题型3：直角三角形的性质在全等三角形、等腰三角形中的应用 7．已知四边形中，，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于．    (1)当绕点旋转到时（如图1），求证． (2)当绕点旋转到时， ①在图2中，上述结论是否成立？若成立，给出证明； ②在图3中，上述结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 8．在中，，是的角平分线，于点E．    (1)如图1，连接，求证：是等边三角形． (2)如图2，点M是线段上的一点（不与点C，D重合），以为一边，在下方作，交延长线于点G．试探究，与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点N是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点G．探究，与数量之间的关系，并说明理由． 9．等腰直角三角形中，，，点为中点，，垂足为，连接，点为线段中点，连接，，如图①．    (1)求证：； (2)将图①中的绕点逆时针旋转，连接，点为线段中点，连接，，，如图②． ①求证：，； ②若，求的面积． 题型4：勾股定理在全等三角形、等腰三角形中的应用 10．在中，，作于点F，于点H．    (1)如图1，点E在线段上，交于点M，，则　　； (2)如图2，取中点D，连接． ①若点E在线段上，求证：； ②若点E在直线上，，求的长 11．在等边中，线段为边上的中线，动点在直线（点与点重合除外），以为一边且在的下方作等边，连接． (1)若，则______度， ______度； (2)判断与是否相等，请说明理由； (3)如图2，若，点两点在直线上且，求的长 12．已知中