5.2.1 三角函数的概念（教学课件）-【大单元教学】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

必修第一册 第五章 三角函数 5．2．1 三角函数的概念 第五章 三角函数 问题1：已知圆周上的动点P的位置由角α的终边OP与圆的交点唯一确定，那么能否建立点P 的位置与角α的函数关系？ 情景引入，温故知新 当时，点的坐标是什么？ 当或时，点的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？ 一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？ 当时，点的坐标是 当时，点的坐标是和 新知1：三角函数的定义 （1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即 （2）把点的横坐标叫做的余弦函数，记作，即 （3）把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即 注意：当时，的终边在轴上，这是点的横坐标等于0，所以无意义. 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 余弦函数 正切函数 新知1：三角函数的定义 例1．求角的正弦、余弦和正切值． 【解析】在平面直角坐标系中作，在终边上取点，使的长为1． 由于点在第四象限，与轴正方向的夹角为， 因此可得点的坐标为． 因为，所以，，． 练习．利用三角函数的定义求下列各角的正弦、余弦和正切值． (1)； (2)； (3)； (4)； 【解析】（1）在角的终边上取一点，即， 则，不存在； （2）在角的终边上取一点，即， 则； （3）在角的终边上取一点，即， 则； （4）在角的终边上取一点，即， 则； 例2．如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为，点P与原点的距离为r，求证：，，. 【解析】如图，设角的终边与单位圆交于点. 分别过点P，作x轴的垂线PM，，垂足分别为M，， 则，，，， 因为 所以，即.因为与y同号， 所以，即. 同理可得， 学习了三角函数的定义，接下来研究它们的一些性质. 问题2：根据任意角的三角函数定义，先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入下表，再将这三种函数的值在各象限的符号填入图中的括号. 新知2：三角函数值在各象限的符号 + ﹣ ﹣ + + ﹣ ﹣ + + ﹣ ﹣ “一全正二正弦三正切四余弦.” 新知3：终边相同的角的三角函数值 问题3：现在我们尝试从三角函数的定义出发，讨论一下什么时候三角函数取值相等？ 由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等. 由此，我们可以得到一组公式： 终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一) 公式一（弧度制） 公式一（角度制） 【例1】已知角的终边落在射线上，求的值． 【解析】射线经过第二象限， 在射线上的取点， 即角的终边经过点， 则， 利用三角函数定义可得 ，， ； 所以. 题型一：三角函数的定义 典型例题 【对点训练1】已知点角的终边上，且，求m，，． 【解析】根据三角函数定义 ， 解得， 所以，． 题型一：三角函数的定义 典型例题 【对点训练2】设为第四象限角，其终边上的一个点是，且，求和. 【解析】依题意，为第四象限角，其终边上的一个点是，则， ，解得， 则 所以， . 题型一：三角函数的定义 典型例题 【例2】已知角的终边上一点的坐标，其中a是非零实数，则下列三角函数值恒为正的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为角的终边上一点的坐标且a是非零实数， 所以根据三角函数的定义知， ，，， 选项A，，故选项A正确； 选项B，，因为的正负不知，故选项B错误； 选项C，，因为的正负不知，故选项C错误； 选项D，，因为的正负不知，故选项D错误； 故选：A. 题型二：判断三角函数值的符号 典型例题 【对点训练3】已知为第三象限角， 那么下列正确的是（ ）， A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为的终边与单位圆的交点的坐标为， 而为第三象限角， 所以，得. 故选：C. 题型二：判断三角函数值的符号 典型例题 【对点训练4】在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，以轴非负半轴为始边，终边经过点，，则下列各式的值可能大于0的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，角的顶点在原点，以轴非负半轴为始边，终边经过点，， 可得，， 故符号不定，值可能大于0，A正确； ，B错误； ，C错误； ，D错误． 故选：A． 题型二：判断三角函数值的符号 典型例题 【例3】若，则所在的象限是（ ） A．二、四 B．一、二 C．一、四 D．二、三 【答案】C 【解析】由得出 或，分两种情况讨论， 即可确定角所在的象限. ， 或. 若且，则角为第一象限角； 若且，则角为第四象限角. 综上所述，角为第一或第四象限角. 故选：C. 题型三：确定角所在象限 典型例题 【对点训练5】（19·20·全国·课时练习）若,且,则角的终边所在象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象