5.1.2 弧度制（教学课件）-【大单元教学】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

必修第一册 第五章 三角函数 5.1.2 弧度制 第五章 三角函数 情景引入，温故知新 度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量也可以用千克、磅等不同的单位制.不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢. 我们知道，角可以用度为单位进行度量，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. 下面介绍在数学和其他科学研究中经常采用的另一种度量角的单位制——弧度制. 探究：角度与弧长的关系 如图，对于同一圆心角α=60°， 若半径r不同，则所对圆弧长l也不同. 半径r r=1 r=2 r=3 r=4 圆弧长l 探究：角度与弧长的关系 如图，对于同一圆心角α=45°， 若半径r不同，则所对圆弧长l也不同. 半径r r=1 r=2 r=3 r=4 圆弧长l α=45° 探究：角度与弧长的关系 可以发现，圆心角所对的弧长与半径的比值，只与的大小有关.也就是说，这个比值随的确定而唯一确定.这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角. 新知1：弧度制的定义 我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号表示，读作弧度. 即：对于圆心角α，若l=r，则|α|=l/r=1 rad. l=3r |α|=l/r=3 rad l=2πr |α|=l/r=2π rad ②今后用弧度制表示角时，“弧度”或“rad”可略去不写，如：α=2，β=π 正角的弧度数是正数 负角的弧度数是负数 零角的弧度数是0 新知1：弧度制的定义 角度制与弧度制的换算： 新知2：扇形的弧长和面积公式： 例6.利用弧度制证明下列关于扇形的公式： (1)(2)(3) 其中是圆的半径，为圆心角，是扇形的弧长，是扇形的面积. 证明：由公式可得：.下面证明(2)(3). 半径为，圆心角为的扇形的弧长公式和面积公式分别是： 将转换为弧度制，得：，于是，. 将代入上式，即得 【例1】把下列各角化成的形式，并指出它们是哪个象限的角： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1），是第四象限角； （2），是第二象限角； （3），是第三象限角； （4），是第一象限角. 题型一：弧度制与角度制的互化 典型例题 【对点训练1】把下列各角的弧度化成度： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）. （2）. （3）. （4）. 题型一：弧度制与角度制的互化 典型例题 【例2】已知半径为6的圆中，弦的长为6. (1)求弦所对圆心角的大小； (2)求圆心角所在的扇形的弧长及弧所在的弓形的面积 【解析】（1）半径为6的圆中，弦的长为6， 所以三角形为正三角形， 所以弦所对圆心角为， （2）由弧长公式得： 扇形的面积 又， 所以， 即弧所在的弓形的面积. 题型二：扇形的弧长及面积公式的应用 典型例题 【对点训练2】已知一扇形的圆心角为，周长为，面积为，所在圆的半径为. （1）若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； （2）若，，求的值. 【解析】（1）设弧长为，弓形面积为， 则，， ， ； （2）由已知得，解得或， 或 题型二：扇形的弧长及面积公式的应用 典型例题 【对点训练3】已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是10cm，求： （1）扇形的弧长； （2）该弧所在的弓形的面积 【解析】因为圆心角，圆的半径是10cm， 所以， 即扇形的弧长为. （2）该弧所在的弓形的面积 即弓形的面积为 题型二：扇形的弧长及面积公式的应用 典型例题 【例3】已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r． (1)若，求扇形的弧长． (2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积． 【解析】（1）设扇形的弧长为l． 因为，即，所以． （2）由题设条件，知， 则， 所以扇形的面积 ． 当时，S有最大值36，此时， 所以当时，扇形的面积最大，最大面积是36． 题型三：扇形中的最值问题 典型例题 【对点训练4】已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l． (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． 【解析】（1）因为，， 所以扇形的弧长； （2）由扇形面积，得， 则扇形周长为， 当且仅当，即时，取等号， 此时，，所以， 所以扇形周长的最小值为，此时. 题型三：扇形中的最值问题 典型例题 【对点训练5】某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度． (1)求关于的函数解析式； (2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值． 【解析】（1）根据题意，弧的长度为米，弧的长