【杨仲鉴编写】九年级下册数学关于求m+k • n最小值的问题

` 1 求 m+k • n最小值的问题(练习) 杨仲鉴编写 举例 如图，在边长为 8的正方形 ABCD中，E是动点，点 F在 CD边上，CF=2，连接 EA、ED、EF，AE=4， 则 FE+ 2 1 ED的最小值为 。 (题目) ` 2 举例 如图，在边长为 8的正方形 ABCD中，E是动点，点 F在 CD边上，CF=2，连接 EA、ED、EF，AE=4， 则 FE+ 2 1 ED的最小值为 6 2 。 (解答) 图 1 利用条件 AE：AD=1：2， 构造△AKE∽△AED， 得到 EK= 2 1 ED。 图 2 如图 1，在 AD上截取 AK=2， 连接 KE、KF。 ∵正方形 ABCD的边长为 8， ∴AD=DC=8。 又∵AE=4， ∴AK：AE=AE：AD=1：2。 又∵∠1是公共角， ∴△AKE∽△AED。 ∴KE：ED=AK：AE=1：2。 ∴EK= 2 1 ED。 ∴FE+ 2 1 ED=FE+EK＞FK； 如图 2，当动点 E落在线段 FK上时， FE+ 2 1 ED=FE+EK=FK (最小)。 ∵∠KDF=90º，DF=6，DK=6， ∴KF= 2 DF=6 2。 ∴FE+ 2 1 ED的最小值为 6 2。 ` 3 练习 1. 如图，矩形 ABCD中，AB=4，AD=8，E是 BC的中点，F是动点，连接 FA、FD、FE，FA=4，则 EF+ 2 1 FD长 的最小值为 。 ` 4 2. 如图，△ABC中，∠ACB=90º，CA=CB=8，D是 AB的中点，E是动点，连接 EB、EC、ED，ED=4，则 CE+ 2 2 EB 长的最小值为 。 ` 5 3. 如图，A(7，0)、B(2，5)，P是动点，连接 PA、PB、PO，PB= 10，则 OP+ 5 5 PA长的最小值为 。 ` 6 4. 如图，抛物线 y=﹣ 8 9 x2- 40 9 x+ 16 3 分别交 x轴于 A、B两点(A在 B的左侧)，交 y轴于点 C，D是动点，OD=4， 连接 DA、DC，则 DA+ 4 3 DC长的最小值为 。 ` 7 5. 如图，抛物线 y=x2-4分别交 x轴于 A、B两点(A在 B的左边)，交 y轴于点 C，动点 P在 y轴上，连接 AP，则 5AP+PC的最小值为 ，此时，点 P的坐标为 。 ` 8 6. 如图，矩形 ABCD中，AB=1，BC=2，P是 AD的中点，动点 E、F分别在 BC、CD边上，BE=2DF，连接 PE、 AF，则 PE+2AF的最小值为 。 求m+k • n最小值的问题(练习) 杨仲鉴编写 举例 如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是动点，点F在CD边上，CF=2，连接EA、ED、EF，AE=4， 则FE+ED的最小值为 。 (题目) 举例 如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是动点，点F在CD边上，CF=2，连接EA、ED、EF，AE=4， 则FE+ED的最小值为 6 。 (解答) ( 如图1，在AD上截取AK=2， 连接KE、KF。 ∵ 正方形ABCD 的边长为8 ， ∴ AD=DC=8。 又 ∵ AE=4 ， ∴ AK：AE=AE：AD=1：2 。 又 ∵ ∠ 1 是公共角 ， ∴ △ AKE ∽△ AED 。 ∴ KE：ED=AK：AE=1：2 。 ∴ EK= ED 。 ∴ FE + ED = FE +E K ＞ FK ； 如图 2 ，当 动点 E落在 线段FK 上时 ， FE + ED = FE +EK =FK (最小) 。 ∵∠ KDF =90 º ，DF=6，DK=6， ∴ KF= DF=6 。 ∴ FE + ED的最小值为 6 。 ) 图1 利用条件AE：AD=1：2， 构造△AKE∽△AED， 得到EK=ED。 图2 练习 1. 如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，E是BC的中点，F是动点，连接FA、FD、FE，FA=4，则EF+FD长的最小值为 。 2. 如图，△ABC中，∠ACB=90º，CA=CB=8，D是AB的中点，E是动点，连接EB、EC、ED，ED=4，则CE+EB长的最小值为 。 3. 如图，A(7，0)、B(2，5)，P是动点，连接PA、PB、PO，PB=，则OP+PA长的最小值为 。 4. 如图，抛物线y=﹣x2-x+分别交x轴于A、B两点(A在B的左侧)，交y轴于点C，D是动点，OD=4， 连接DA、DC，则DA+DC长的最小值为 。 5. 如图，抛物线y=x2-4分别交x轴于A、B两点(A在B的左边)，交