专题10 圆的最值模型之瓜豆模型-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学下册压轴题攻略（北师大版）

专题10 圆的最值模型之瓜豆模型 一、模型说明 问题1.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 解析：Q点轨迹是一个圆 理由：Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，． 问题2.如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 解析：Q点轨迹是一个圆 理由：∵AP⊥AQ，∴Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO； 又∵AP：AQ=2：1，∴Q点轨迹圆圆心M满足AO：AM=2：1． 即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2． 模型总结： 条件：两个定量 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）． 结论：（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM； （2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比． 二、例题精讲 例1．如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作Rt，且使，连接，则长的最大值为 ． 例2．如图，已知，平面内点P到点O的距离为2，连接AP，若且，连接AB，BC，则线段BC的最小值为 ． 例3．如图，中，，中，，直线与交于，当绕点任意旋转的过程中，到直线距离的最大值是 ． 例4．如图，在半径为4的中，弦，B是上的一动点（不与点A重合），D是的中点，M为的中点，则的最大值为 ．    三、课后训练 1．如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（ ） A． B．4 C． D．6 2．如图，在Rt△ABC中，，，BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连接CE，则CE的最大值是 ． 3．如图，在中，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为 ． 4．如图，已知的半径为2，弦，点为优弧上动点，点为的内心，当点从点向点运动时，点移动的路径长为 ． 5．如图，是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，M为的中点，连接．若的半径为2，则长的最大值是 ．    6．如图是半圆O的直径，点D在半圆O上，，，C是上的一动点，连接，过点D作于点H，连接，在点C移动的过程中，的最小值是 ．    7．如图，在中，，，，点是上的一个动点，以为直径作圆，连接交圆于点，则的最小值为 ．    8．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接BD，将△ABD绕点D顺时针旋转，记旋转后的三角形为△A′B′D，旋转角为α（0°＜α＜360°且α≠180°）． (1)在旋转过程中，当A′落在线段BC上时，求A′B的长； (2)连接A′A、A′B，当∠BA′B'＝90°时，求tan∠A′AD； (3)在旋转过程中，若△DAA′的重心为G，则CG的最小值＝　 ． 9．在菱形中，，是对角线上的一点，连接． （1）当在的中垂线上时，把射线绕点顺时针旋转后交于，连接．如图①，若，求的长． （2）在（1）的条件下，连接，把绕点顺时针旋转得到如图②，连接，点为的中点，连接，求的最大值． 10．如图1，在中，，，，以点为圆心，为半径作圆．点为上的动点，连接，作，使点落在直线的上方，且满足，连接，． （1）求的度数，并证明； （2）如图2，若点在上时，连接，求的长； （3）点在运动过程中，是否有最大值或最小值？若有，请求出当取得最大值或最小值时，的度数；若没有，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 圆的最值模型之瓜豆模型 一、模型说明 问题1.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 解析：Q点轨迹是一个圆 理由：Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，． 问题2.如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 解析：Q点轨迹是一个圆 理由：∵AP⊥AQ，∴Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO； 又∵AP：AQ=2：1，∴Q点轨迹圆圆心M满足AO：AM=2：1． 即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2． 模型总结： 条件：两个定量 主动点、从动点与定点连线的夹角是