专题09 圆的最值模型之隐圆模型-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学下册压轴题攻略（北师大版）

专题09 圆的最值模型之隐圆模型 一、模型说明 1、动点定长模型 若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径 2、直角圆周角模型 固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径 3、四点共圆模型 固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆 二、例题精讲 例1．（直角模型1）如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例2．（直角模型2）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例3（四点共圆）．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（    ） A．2 B．π C．2π D．π 例4．（动点定长）如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（  ） A．2 B．+1 C．2﹣2 D．3 例5．（综合1）正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则BH的最小值为（    ） A． B． C． D． 例6．（综合2）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、． （1）求证：； （2）①当点在何处时，的值最小； ②当点在何处时，的值最小，并说明理由； （3）当的最小值为时，求正方形的边长． 三、课后训练 1．如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 2．如图，中，，，，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 3．如图，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．连接BD，CE，将△绕点A旋转一周，在旋转的过程中当最大时，△ACE的面积为（    ）． A．6 B． C．9 D． 4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为 ． 5．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中点，E为AB上一动点，点B关于DE的对称点在△ABC内（不含△ABC的边上），则BE长的范围为 ． 6．如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，D为AC的中点，M为BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转（旋转过程中始终保持点M为BD的中点），若AC＝8，BC＝6，那么在旋转过程中，线段CM长度的取值范围是 ． 7．如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为 ． 8．如图，四边形中，，，，，点是四边形内的一个动点，满足，则面积的最小值为 ． 9．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则点P运动的路径长为 ． 10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 ． 11．问题背景如图（1），△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，直线l绕着点A顺时针旋转，过B，C两点分别向直线l作垂线BD，CE，垂足为D，E，此时△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小（取最小旋转角度）． 尝试应用如图（2），△ABC为等边三角形，直线l绕着点A顺时针旋转，D、E为直线l上两点，∠BDA＝∠AEC＝60°．△ABD可以由△CAE通过旋转变换得到吗？若可以，请指出旋转中心O的位置并说明理由； 拓展创新如图（3）在问题背景的条件下，若AB＝2，连接DC，直接写出CD的长的取值范围． 12.（1）如图1，等边的边长为2，点D为边上一点，连接，则长的最小值是______； （2）如图2，已知菱形的周长为16，面积为，E为中点，若P为对角线上一动点，Q为边上一动点，计算的最小值： （3）如图3，已知在四边形中，，，，E为