专题09 三角函数与几何综合-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学下册压轴题攻略（人教版）

专题09 三角函数与几何综合 类型一、网格问题 例．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，与相交于点P，则的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、、、均在格点上，与相交于点，则的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练2】．如图，A、B、C、D是正方形网格的格点，AD、BC交于点O，则sin∠AOB＝ ． 【变式训练3】．如图，在正方形网格中，点都是小正方形的顶点，与相交于点，则的值是 ． 【变式训练4】．如图，在正方形网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上，对角线AC交BD于点E，则tan∠CED的值是 ． 类型二、三角函数与圆综合 例．在锐角△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交边 BC，AC于点D，E，AF⊥DE于点F． （1）求证：∠EDC＝2∠CAF； （2）若AB＝BC，判断直线AF与⊙O的位置关系，并说明理由； （3）若，求的值． 【变式训练1】．如图，中，以为直径的交于点D，． （1）求证：为的切线； （2）在上取点E，使，过点E作交于点F．若，求的值． 【变式训练2】．如图，以AB为直径的⊙O，交AC于点E，过点O作半径OD⊥AC于点G，连接BD交AC于点F，且FC=BC． (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为5，tanA=，求GF的长． 【变式训练3】．如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点D作，垂足为点E，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 课后训练 1．如图，在正方形ABCD中．以AD、AB为斜边分别向外和向内作Rt△ADN和Rt△ABM，且满足AN=AM，连接MN交AD于点T．若DC=4，tan∠ABM=，则AT的长为（      ） A．1 B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A、B恰好分别落在反比例函数、的图像上，则的值为（       ） A． B． C． D． 3．如图，一次函数与反比例函数（，）的图象交于，两点，与轴交于点．若，的面积为5，则的正切值为 ，的值为 ． 4．如图，内接于的半径为6，于点，则的长为 ． 5．如图，在中，，．矩形DEFG的顶点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，若，则矩形EDFG面积的最大值= ． 6．如图，在每个边长均为1的正方形网格中，点A、B、C均在网格的交点上，则 ．    7．如图，在正方形中，是的中点，是边上的一点，的平分线交于点． （1）求证：； （2）若，，求的值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 三角函数与几何综合 类型一、网格问题 例．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，与相交于点P，则的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取格点，连接、，设网格中每个小正方形的边长为1，先证得，求得，再根据题意证得即可求解． 【详解】解：取格点，连接、，设网格中每个小正方形的边长为1， 则，，， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 由题意知，， ∴， ∴， ∴， 故选： 【点睛】本题考查了网格问题中解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键． 【变式训练1】．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、、、均在格点上，与相交于点，则的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作于E，由可证，则可得，由此可求出的长，再在中根据面积法求出的长，再根据勾股定理求出的长，即可求出的余弦值，由于，因此可得的余弦值． 【详解】    作于E， ， ， ， ， ． 中， ． ， ， 解得， ． ， ． 故选：C 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、用面积法求直角三角形斜边上的高、勾股定理及余弦的定义．熟练掌握以上知识并且正确的作出辅助线是解题的关键． 【变式训练2】．如图，A、B、C、D是正方形网格的格点，AD、BC交于点O，则sin∠AOB＝ ． 【答案】/ 【分析】构造直角三角形BCE，使顶点E在格点上，一个锐角∠CBE正好等于∠AOB，求出sin∠CBE即可. 【详解】解：如图， 由图可知，，， ∴， 而，，，， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了锐角三角函数，解题的关键构造格点直角三角形. 【变式训练3】．如图，在正方形网格中，点都是小正方形