14.1 勾股定理 培优讲义 2023—2024学年华东师大版数学八年级上册

华师培优第12讲： 勾股定理 【今日复习】 1．直角三角形两个锐角________． 2．勾股定理：如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直三角边和斜边，那么________． 3．勾股定理的表面形式是a2＋b2=c2，a、b、c为线段长，而由a2想到a为边长的正方形的，故勾股定理的证明一定与图形的________有关． 4．勾股定理有以下应用： （1）已知直角三角形的两边，求________． （2）已知直角三角形的一边，求另两边的________． 名师点拔 1．使用勾股定理一定要先判断此三角形是否是直角三角形，再找到直角边和斜边，最后运用勾股定理求出第三边． 2．可利用等面积法求直角三角形斜边上的高线（如图1） ． 3．我国古代，将直角三角形较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦． 一、填空题 1．在Rt△ABC中，∠C=90°，若两条直角边 a：b=3：4，斜边c=10，则Rt△ABC的面积为________． 2．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，BC=2 cm，把△ACD沿AD对折，使点C落在E的位置，则BE2=________cm． 3．（1）如图4，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S2=4，S2=12，则AB的长为________． （2）如图5，以∠ABC=90°，AC=8，AB=10，已知阴影部分为一半圆，则阴影部分的面积是________． 4．如图7，已知AB=12，AB丄BC于点B， AB丄AD于点A，AD=5，BC=10，点E是CD的中点，则AE的长为________． 5．如图8，在四边形ABCD中，∠BAO=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD的面积是24 cm2，AC2的值为________． 6．在矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图9所示方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=________cm． 7．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2、5、1、2，则最大的正方形E的面积是________． 8．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图9所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4=________． 二、选择题 9．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（ ） A． B． C． D． 10．一根高9米的旗杆在离地4米高处折断，折断处仍相连，此时在3.9米远处玩耍的身高为1米的小明 （ ） A．没危险 B．有危险 C．可能有危险 D．必无法判断 三、解答题 11．如图7，P为正方形ABCD的边AD上的 一个动点，AE丄BP垂足分别务点E、F，已知AD=4，求AE2＋CE2的值． 12．把一副三角板按如图11放置，其中 ∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6，DC=7，把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1 （如图11），此时AB与CD1交于点O，求线段AD1的长度． 13．如图5（1）所示，一个梯子长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C的距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，如图5（2）所示，测得BD长为0.5米，那么梯子顶端A下落了多少米？ 14．如图 6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3． （1）求DE的长及AD2的值； （2）求△ADB的面积． 15．如图11，在等腰直角三角ABC中，∠ABC=90°，D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交BC于点F，若AE=4，FC=3，求EF的长． 练习巩固 1．如图1： 在△ABC中，a2＋b2=________．c2=________． ∵a2＋b2________ c2（填“＞”或“＜” ）， ∴△ABC是________角三角形（填“钝”或“锐” ）． 在△DEF中，d2＋f 2 ________ e2 （填“＞”或“＜” ）， ∴△DEF是________角三角形（填“钝”或“锐” ）． 2．若a、b、c是直角三角形的三边，且c是斜边，则a2＋b2________ c2． 3．在△ABC中，a、b、c为∠A、∠B，∠C的