13.3 等腰三角形 培优讲义 2023—2024学年华东师大版数学八年级上册

华师培优第10课 等腰三角形 知识点一、等腰三角形的性质 性质：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） 推论：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称：三线合一）。 【例1】一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰，底及底边上的高，并按顺序记录下数据，量完后，不小心与其他记录的数据记混了，请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据（ ） A．13，10，10 B．13，10，12 C．13，12，12 D．13，10，11 【变式】在等腰ABC中，AB＝AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ） A.7 B.11 C.7或11 D．7或10 【例2】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，且∠1=∠2，CD=BE．CD与BE相交于点O．求证：（1）AB=AC；（2）OB=OC． 【变式】（1）如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC于E，求证：△DBE是等腰三角形． （2）已知，如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD和BE交于H，且BE＝AE.求证：AH＝2BD. 知识点二、等腰三角形的判定 判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 【例3】已知：如图，BE和CF是ABC的高线，BE=CF，H是CF、BE的交点． 求证：HB=HC 【例4】如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：BC=3AD. 【变式】（1）如图，△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2，试说明：AB=AC+CD． （2）已知:如图，△BDE是等边三角形，A在BE延长线上，C在BD的延长线上，且AD=AC。求证：DE+DC=AE。 【例5】如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，求证：△BCE≌△ACD；（1）求证：CF=CH；（2）判断△CFH的形状并说明理由． 【变式】（1）两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由． A C B M D E 图 （2）已知：如图，△ABC为等腰直角三角形∠ACB＝90°，过点C作直线CM，D为直线CM上一点，如果CE＝CD且EC⊥CD． （1）求证：△ADC≌△BEC； （2）如果EC⊥BE，证明：AD∥EC． 【拓展练习】 例1：在等腰三角形ABC，∠A＝120°，求∠B的度数． 例2：在等腰三角形ABC中，∠A＝50°，求∠B的度数． 王老师启发同学们进行变式，小兰编了如下一题：变式等腰三角形ABC中，∠A＝70°，求∠B的度数； （1）请你解答小兰的变式题； （2）解完（1）后，小兰发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°； 当∠B的度数唯一时请你探索x的取值范围并用含x的式子表示∠B的度数； 当∠B有三个不同的度数时请你探索x的取值范围，并用含x的式子表示∠B的度数． 2、如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D，满足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度数．（提示：连接CE） 2、如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE ＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。 3、如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥AB垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF交AD于G． （1）求证：AD⊥CF; （2）连接AF，试判断ACF的形状，并说明理由． 4、已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点． (1)如图1，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，试判断△DEF的形状，并说明理由； (2)如图2，若E，F分别为AB，CA的延长线上的点，仍有BE＝AF.请判断△DEF是否仍具有(1)中的形状，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 A D 1 B M C E $$