（三）二次函数与四边形 讲义——上海2023～2024学年九年级二次函数复习

（三）二次函数与四边形（含答案） 上海2023~2024学年九年级二次函数复习 【二次函数与几何】 · 二次函数与平行四边形：a：中点公式法（对角线上横坐标和相等，纵坐标和相等） b：平移法 · 二次函数与矩形：通过直角三角形两线一圆构造 · 二次函数与菱形：通过等腰三角形两圆一线构造 · 二次函数与正方形：通过等腰直角三角形构造 · 二次函数与梯形：通过平行线k相等，两点间距离公式 · 二次函数与锐角三角比（解直角三角形：已知一边一角；两边可解所有。解非直角三角形：已知两边一角；两角一边；三边可解所有） 1.（2018•杨浦区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过点A、C，点P为抛物线上位于直线AC上方的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图（1），当CP∥AO时，求∠PAC的正切值； （3）当以AP、AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时，求出此时点P的坐标． （1）y=-x2-x+4；（2）（3）（-3，） 2.（2016•杨浦区三模）已知点A（2，-2）和点B（-4，n）在抛物线y=ax2（a≠0）上． （1）求a的值及点B的坐标； （2）点P在y轴上，且△ABP是以AB为直角边的三角形，求点P的坐标； （3）将抛物线y=ax2（a≠0）向右并向下平移，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形ABB′A′为正方形，求此时抛物线的表达式． （1）a=-，B（-4，-8）（2）（0，0），或（0，-12）（3）y=-（x-6）2-6． 3.（2015•虹口区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0）、B（3，0）．C（2，3）三点，且与y轴交于点D． （1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴； （2）分别连接AD、DC，CB，直线y=4x+m与线段DC交于点E，当此直线将四边形ABCD的面积平分时，求m的值； （3）设点F为该抛物线对称轴上的一点，当以点A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标． （1）y=-x2+2x+3，x=1（2）m=-．（3）（1，3），（1，-2），（1，-6）． 4.（2023春•普陀区期中）在平面直角坐标系xOy中，如图，直线y=x+b与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+6ax+5经过点A和点C，与x轴交于另一点B． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求tan∠ACB的值； （3）点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，如果四边形APCQ是菱形，求点P的坐标． 【答案】（1）y=x2+6x+5；（2）；（3）（，）或（，）． 5.（2023•浦东新区二模）如图，直线y＝−x−2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线 y＝x2+bx+c经过A、C两点，且与x轴的另一个交点为B，抛物线的顶点为P． （1）求抛物线的表达式； （2）如果抛物线的对称轴与直线BC交于点D，求tan∠ACD的值； （3）平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于点E，顶点Q在原抛物线上，当四边形BPQE是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式． 【答案】（1）y=x2+x-2；（2）3；（3）y=（x+3）2-． 6.（2020•宝山区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2ax-3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC． （1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）； （2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值； （3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，当以点A、D、P、Q为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）y=ax+a；（2）a=-（3）P（1，-）或（1，-4） 学科网（北京）股份有限公司 $$