专题3.10 圆锥曲线中的面积与范围问题-2023-2024学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题3.10 圆锥曲线中的面积与范围问题 【知识梳理】 1 【考点1：椭圆中的面积与范围问题】 2 【考点2：双曲线中的面积与范围问题】 4 【考点3：抛物线中的面积与范围问题】 5 【知识梳理】 1、三角形的面积 ①;(其中d是三角形的顶点O到直线AB的距离) ②. 2、四边形的面积或其他多边形面积 ;(其中弦AB与弦PQ所在直线互相垂直) 若AB与PQ的夹角为,则, 还有部分不规则的四边形或其他多边形面积问题, 可以转化为三角形面积的倍数,再参照上述三角形面积的求法进行求解即可. 3、求最值与范围问题的常用方法: （1）几何法: 若题目利用圆锥曲线的定义转化之后或题目中给的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决(比如: 两点间线段最短, 或垂线段最短, 或三角形的三边性质等) 解题模板: 第一步：根据圆锥曲线的定义或题目中给的条件和结论,把所求的最值或范围转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等; 第二步：利用两点间线段最短, 或垂线段最短, 或三角形的三边性质等找到取得最值的临界条件, 进而求出最值或范围. （2）代数法: 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值或范围,最值常用基本不等式法、或利用求函数值域的方法(配方法、导数法等)求解. 解题模板: 第一步：将所求最值或范围的量用变量表示出来; 第二步：用基本不等式或求函数值域的方法求出最值或范围. 【考点1：椭圆中的面积与范围问题】 【知识点：椭圆中的面积与范围问题】 1．（2023上·广东东莞·高二校考期中）已知椭圆，经过，且离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，为坐标原点.求面积的最大值. 2．（2023上·江西南昌·高二江西师大附中校考期中）已知椭圆焦距为，离心率为. (1)求曲线的方程； (2)过点作直线交曲线于、两个不同的点，记的面积为，求的最大值. 3．（2023上·广西南宁·高二南宁三中校考期中）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点形成轨迹. (1)求轨迹的方程； (2)若直线与曲线交于、两点，为曲线上一动点，求面积的最大值. 4．（2023上·浙江·高二校联考期中）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足.记的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线交于，两点，，为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值. 5．（2023上·江苏扬州·高二统考期中）已知椭圆的长轴长为4 ，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若过点的直线与椭圆相交于两点，为原点，求面积的最大值. 6．（2023上·江苏南通·高二统考阶段练习）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，椭圆与圆 相交于点. (1)当四边形面积最大值时，求圆的半径； (2)直线与（1）中的圆相切，并与椭圆C相交于两点，求面积的最大值. 7．（2023上·湖北·高三校联考期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆相交于，两点，记的面积为，求的最大值. 8．（辽宁省高级中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题）已知为坐标原点，椭圆的两个顶点坐标为，，短轴长为，直线交椭圆于，两点，直线与轴不平行，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知. (1)求证：直线恒过定点； (2)斜率为的直线交椭圆于，两点，记以，为直径的圆的面积分别为，，的面积为，求的最大值. 【考点2：双曲线中的面积与范围问题】 【知识点：双曲线中的面积与范围问题】 1．（2023上·福建莆田·高二校考期中）设点O为坐标原点，P是圆A：上任意一点，点，线段BP的垂直平分线与直线AP交于点Q，记点Q的轨迹为曲线C． (1)求C的方程； (2)设直线l与曲线C（在y轴右侧）恰有一个公共点，且l与直线分别交于M，N两点，求面积S的最小值． 3．（2023·浙江·模拟预测）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一点满足. (1)化简曲线的方程； (2)已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点A作直线的垂线，交于两点，求面积的最小值. 4．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）已知双曲线实轴的一个端点是，虚轴的一个端点是，直线与双曲线的一条渐近线的交点为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与曲线有两个不同的交点是坐标原点，求的面积最小值. 5．（2023下·广东深圳·高二统考期末）已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与