精品解析：北京市育才学校2023-2024学年高三上学期期中测试数学试卷

2023--2024学年度第二学期北京育才学校高三数学 期中考试试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1. 已知集合,则 A. B. C. D. 2. 下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，.若与垂直，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 4. 已知直线平面，表示直线，表示平面，有以下四个结论：①；②；③；④若与相交，则与相交.其中正确的结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 中，“”是“”（ ）条件 A 充分而不必要 B. 必要而不充分 C. 充分且必要 D. 既不充分也不必要 6. 函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 7. 若是首项为1，公比为3的等比数列，把的每一项都减去2后，得到一个新数列，设的前项和为，对于任意的，下列结论正确的是（ ） A ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 8. 已知向量，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 在直角梯形中，已知，，，，，若为的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. “开车不喝酒，喝酒不开车”.一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过（ ）小时，才能开车？（精确到1小时）（参考数据：，） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 记为等差数列的前项和.已知，，则______. 12. 已知平面向量、满足，且，，则向量与的夹角为____________． 13. 从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥，则它的体积与正方体体积的比为___________；它的表面积与正方体表面积的比为____________. 14. 将函数y=图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____. 15. 已知函数以下结论正确的序号是_________. ①在区间上是增函数 ② ③若函数在上有6个零点，则6个零点的和 ④若方程恰有3个实根，则 三、解答题：本大题共6小题，共85分. 16. 在中，. （1）求B； （2）若，___________.求a. 从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 17. 已知等差数列满足，. （1）求的通项公式； （2）若等比数列，，，求的通项公式； （3）若，求数列的前项和. 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形.且平面，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若，求与平面所成角的正弦值. 19. 为了增强学生冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下： （Ⅰ）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查.求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率； （Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X的分布列和数学期望； （Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导.规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由. 20. 已知函数，是常数. （1）求函数的图象在点处的切线的方程； （2）证明函数的图象在直线的下方； （3）讨论函数零点的个数. 21. 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“Z拓展”.如数列1，2第1次“Z拓展”后得到数列1，3，2，第2次“Z拓展”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a，b，c经过第n次“Z拓展”后所得数列的项数记为Pn，所有项的和记为Sn. （1）求P1，P2； （2）若Pn≥2020，求n的最小值； （3）是否存在实数a，b，c，使得数列{Sn}为等比数列？若存在，求a，b，c满足的条件；若不存在