2.3.1 公式法 课件 2023—2024学年北师大版数学九年级上册

2.3.1 用公式法求解一元二次方程 初中数学 1 用配方法解方程：2x2 - 4x - 6 = 0. 我是这样解的？ 解：方程两边都除以 3，得x2 - 2x - 3 = 0. 移项，得x2 - 2x = 3. 配方，得x2 - 2x + 1 = 3 + 1，即(x - 1)2 = 4. 两边开平方，得 x - 1= ±2. 解得x1= 3，x2= -1. 知识回顾 你能说一说，用配方法解方程的步骤吗？ 1.化：二次项系数化为 1 ； 2.移：将常数项移到等号右边； 3.配：配方，使等号左边成为完全平方式； 4.开：等号两边开平方； 5.解：求出方程的解. 用配方法可以解所有一元二次方程吗？每次求解都要配方，很麻烦，有简单方法吗？ 2．会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程． 1．理解一元二次方程求根公式的推导过程． 学习目标 3.会用一元二次方程根的判别式判断根的情况． 你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗? 解：移项，得ax2+bx=-c． 二次项系数化为1，得 配方，得 即 ． ． 这里可以直接开平方吗？为什么？ 新知探究 因为a≠0,所以4a2＞0.式子b2－4ac的值有以下三种情况： 方程有两个不相等的实数根． (1) >0 >0 , 这里用到了 这里用到了 ,与前面的±运算后，结果还是±. 方程有两个相等的实数根． (2) =0 0 因为a≠0,所以4a2＞0. 式子b2－4ac的值有以下三种情况： 方程无实数根． (3) <0 0 由上可知,只有当b2-4ac≥0时,方程才有实数根.即 b2-4ac的值决定一元二次方程根的情况. 一般地,式子 b2−4ac 叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它， 即 Δ＝b2−4ac． 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的根的情况 当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ < 0 时，方程无实数根. 上面结论反过来也成立.即当一元二次方程有两个不相等的实数根时，Δ > 0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；当一元二次方程没有实数根时，Δ < 0. 求根公式 对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0）， 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 当b2 - 4ac ≥ 0 时，它的根是： 例 解方程 ： （1）x2 -7x -18 = 0； （2）4x2 + 1 = 4x. 解：（1）a = 1，b = -7，c = -18. 即 x1 = 9，x2 = -2. ∵ b2 - 4ac = (-7)2 - 4×1×(-18) = 121 > 0， 例 解方程 ： （1）x2 -7x -18 = 0； （2）4x2 + 1 = 4x. 解：（2）将原方程化为一般形式，得 4x2-4x + 1 = 0. 这里 a = 4，b = -4，c = 1. ∵ b2 - 4ac = (-4)2 - 4×4×1 = 0， 即． . （1）你能解一元二次方程 x2 -2x + 3 = 0 吗？你是怎么想的？ 解：（1）a = 1，b = -2，c = 3. ∵ b2 - 4ac = (-2)2 - 4×1×3= -8 < 0， ∴方程没有实数根. 议一议 （2）对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0）， 当 b2 -4ac < 0 时，它的根的情况是怎样的？与同伴交流. 议一议 当 b2 -4ac < 0 时，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0没有实数根. （1）2x2 + 5 = 7x ；（2）4x(x-1) + 3 = 0 ； （3）4 ( y2 + 0.09 ) = 2.4y . 1.（教材P43 随堂练习）不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）将方程化成一般形式：2x2 -7x + 5 = 0； ∵⊿ = b2 -4ac =(-7)2 -4×2×5 = 9 > 0， ∴方程有两个不相等的实数根. 随堂练习 （2）将方程化成一般形式为 4x2 -4x + 3 = 0. ∵⊿ = b2 -4ac =(-4)2 -4×4×3 = -24 < 0， ∴方程没有实数根. 1.（教材P43 随堂练习）不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）2x2 + 5 = 7x ；（2）4x(x-1) + 3 = 0 ； （3）4 ( y2 + 0.09 ) = 2.4y . （3）将方程化成一般形式：4y2 -2.4y + 0.36 = 0