4.1数列的概念6题型分类（讲+练）-【解题秘籍】2023-2024学年高二数学同步知识·题型精品讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

4.1数列的概念6题型分类 一、数列及其有关概念 1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． 2．数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项 间的大 小关系 递增数列 an＋1＞an n∈N+ 递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第二项起，时大时小 二、数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法. 三、数列的通项公式 1．通项公式：如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 2．递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 四、数列的前n项和Sn与an的关系 1．把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. 2．an＝ （一） 由数列的前几项求数列的通项 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 1．常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法. 2．具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N+处理. 题型1：由数列的前几项求数列的通项 1-1．（2023·高二课时练习）若一数列为1，，，，…，则是这个数列的（    ）． A．不在此数列中 B．第13项 C．第14项 D．第15项 1-2．（2023·高二课时练习）数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 1-3．（2023下·广西百色·高二统考期末）若数列的前6项为：1，，，，，，则数列的通项为（    ） A． B． C． D． 1-4．（2023下·山西·高一统考阶段练习）数列， ， ， ，……的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 1-5．（2023·陕西安康·统考一模）在数列中，第9个数是（    ） A． B．3 C． D．10 1-6．（2023下·河南南阳·高二统考期末）已知一组数据2，5，10，17，26，…，按此规律可以得到第100个数为（    ） A．9802 B．9991 C．10001 D．10202 1-7．（2023·全国·校联考模拟预测）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，则此数列的第21项是（    ） A．200 B．210 C．220 D．242 1-8．（2023下·广西·高二统考学业考试）一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数.如图，根据前三个点阵图形的规律，第四个点阵表示的三角形数是（  ） A．1 B．6 C．10 D．20 1-9．（2023·高二课时练习）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第10个图有 个点． （二） 由an与Sn的关系求通项 数列的通项an与前n项和Sn的关系：an＝ ①当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则a1可并入n≥2时的通项an； ②当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示. 题型2：由an与Sn的关系求通项 2-1．（2023下·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）已知为数列的前n项和，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 2-2．（2023上·浙江·高二期末）已知数列的前项和，则 . 2-3．（2023·高二课时练习）已知数列的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为 ． 2-4．（2023下·广东佛山·高二佛山一中校考阶段练习）已知对任意，则