专题06 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型-2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题06 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型 模型1、内切圆模型 【模型解读】 内切圆：平面上的多边形的每条边都能与其内部的一个圆形相切，该圆就是该多边形的内切圆，这时称这个多边形为圆外切多边形。它亦是该多边形内部最大的圆形。内切圆的圆心被称为该多边形的内心。 三角形内切圆圆心：在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。正多边形必然有内切圆，而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。 【常见模型及结论】 1）三角形的内切圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为三角形ABC的内心），⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=。 图1 图2 图3 2）直角三角形的内切圆模型 条件：如图2，⊙O为Rt的内切圆（即O为三角形ABC的内心），⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=； 3）四边形的内切圆模型 条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。 结论：。 例1．（2023春·云南德宏·九年级统考期中）如图，在中，，是的内切圆，连接，交于点D、E，已知，则图中阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 例2．（2023春·广东九年级期中）如图，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，若∠A=70°，则∠BOC的度数为（ 　） A．125° B．120° C．130° D．115° 例3．（2023·山东淄博·九年级统考期末）如图，中，，圆O是的内切圆，D，E，F是切点．若，则 ． 例4．（2023·河南安阳·九年级校联考期中）若三角形的面积是24cm2，周长是24cm，则这个三角形内切圆的半径 cm． 例5．（2023·江苏南京·九年级校联考阶段练习）如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线．若，，则的值是 ． 例6．（2023·广东广州·铁一中学校考二模）如图，在矩形中，，，，，分别与相切于，，三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为 ． 例7．（2023·广东梅州·九年级校考开学考试）若四边形的对角线，相交于O，，，，的周长相等，且，，的内切圆半径分别为3，4，6，则的内切圆半径是（　　） A． B． C． D．以上答案均不正确 例8．（2023·广东东莞·九年级校考期中）如图，在内切圆半径为1的直角三角形ABC中，，，内切圆与BC边切于点D，则A到D的距离AD（  ） A． B． C． D． 模型2、多边形的外接圆模型 【模型解读】 外接圆：与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆，通常是针对一个凸多边形来说的，如三角形，若一个圆恰好过三个顶点，这个圆就叫作三角形的外接圆，此时圆正好把三角形包围。 三角形外接圆圆心：即做三角形三条边的垂直平分线（两条也可，两线相交确定一点）。 【常见模型及结论】 1）三角形的外接圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。 结论：①OA=OB=OC；②。 图1 图2 图3 2）等边三角形的外接圆模型 条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。 结论：①，PM平分；②PA=PB+PC；③； 3）四边形的外接圆模型 条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。 结论：①；；②。 例1．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）已知O，I分别是△ABC的外心和内心，∠BOC=140°，则∠BIC的大小是 ． 例2．（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）如图，点O，I分别是锐角的外心、内心，若，则的度数为 ． 例3．（2023·江苏无锡·九年级校考阶段练习）已知等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，则它的外接圆半径R＝ ，内切圆半径r＝ ． 例4．（2023·成都市·九年级专题练习）如图，四边形中，．若．则外心与外心的距离是（    ） A．5 B． C． D． 例5．（2023·浙江·九年级期末）如图，点C，D在以AB为直径的半圆O上，，切线DE交AC的延长线于点E，连接OC．（1）求证：∠ACO＝∠ECD．（2）若∠CDE＝45°，DE＝4，求直径AB的长． 例6．（2023湖北武汉九年级上期中）如图，点A、P、B、C为⊙O上四点，∠APC＝∠CPB＝60°． （1）判断△ABC形状并证明；（2）将△APB绕