1.4.2 用空间向量研究夹角问题问题课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

与距离类似，角度是立体几何中另一个重要的度量. 下面我们用向量方法研究直线与直线所成角、直线与平面所成角及平面与平面所成角. 1.4.2 用空间向量研究夹角问题 学校：仁寿县第一中学北校区 姓名：周扬 1、用向量法求线线角 一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得. 也就是说，若异面直线l1，l2所成的角为θ ，其方向向量分别是 ， ，则 例1：在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M、N分别为BC、AD的中点，求直线AM与CN夹角的余弦值 (1)几何法 解决此类问题，关键是通过平移求解．过某一点作平行线，将异面直线所成的角转化为平面角，最后通过解三角形求解．主要以“作，证，算”来求异面直线所成的角，同时，要注意异面直线所成角的范围． (2)向量法 利用数量积或坐标方法将异面直线所成的角θ 转化为两直线的方向向量所成的角 ，若求出的两向量的夹角为钝角，则异面直线的夹角应为两向量夹角的补角，即 . 求异面直线所成的角的两种方法 2、用向量法求线面角 设直线AB与平面α相交于点B，直线AB与平面α所成角为θ ，直线AB的方向向量为 ，平面α的法向量为 ，则 5. 如图，在正方体ABEF－DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，求 （1）求直线MN与直线AC的夹角余弦值 （2）求直线EN与平面MNB的夹角余弦值 练习巩固 (1)几何法 找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)． (2)向量法 ①建立空间直角坐标系； ②求直线的方向向量 ； ③求平面的法向量 ； ④计算：设线面角为θ，则 . 求直线与平面的夹角的方法与步骤 3、用向量法求面面角 若平面α、β的法向量分别是 ， ，则平面α 与平面β 的夹角即为向量 和 的夹角或其补角. 设平面α 与平面β 的夹角为θ ，则 5. 如图，在正方体ABEF－DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，求 平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值． 练习巩固 (1)几何法 在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，把平面角放到三角形中求解． (2)向量法 ①建立空间直角坐标系； ②求出两个半平面的法向量 ， ； ③设二面角的平面角为θ，则 ； ④根据图形判断θ为钝角还是锐角，从而求出θ(或其三角函数). 求平面与平面的夹角的方法与步骤 向量求法 图形语言 线线角 设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为 ， ，则 小 结： 向量求法 图形语言 线面角 设直线l 与平面α 所成的角为θ，l 的方向向量为 ，平面α的法向量为 ， 则 向量求法 图形语言 面面角 设二面角α－l－β的平面角 为θ，平面α、β的法向量为 ， ，则 [典例2]　如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF. (1)求证：平面PEF⊥平面ABFD； (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值． [解]　(1)证明：由已知可得BF⊥PF，BF⊥EF， 又PF∩EF＝F， 所以BF⊥平面PEF. 又BF⊂平面ABFD， 所以平面PEF⊥平面ABFD. (2)如图，作PH⊥EF，垂足为H. 由(1)得，PH⊥平面ABFD. 以H为坐标原点，eq \o(HF,\s\up15(―→))的方向为y轴正方向，|4|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz. [典例2]　如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF. (1)求证：平面PEF⊥平面ABFD； (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值． $$