专题06 相似三角形中的基本模型之半角模型-2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题06 相似三角形中的基本模型之半角模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1.半角模型（相似模型） 【常见模型及结论】 1）半角模型（正方形中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45° 结论：如图1，△AMN∽△AFE且．（思路提示：∠ANM=∠AEF，∠AMN=∠AFE）； 图1 图2 结论：如图2，△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA； 结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 图3 图4 结论：如图4，△BME∽△AMN∽△DFN. 2）半角模型（特殊三角形中的半角相似模型） （1）含45°半角模型 图1 图2 条件：如图1，已知∠BAC＝90°，； 结论：①△ABE∽△DAE∽△DCA；②；③ （） （2）含60°半角模型 条件：如图1，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （） 例1．（2023·福建泉州·九年级校考期中）如图，在正方形中，点分别是边上的两点，且分别交于.下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是（  ） A．②③④ B．①④ C．①②③ D．①②③④ 例2．（2023·湖南永州·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，，点E在上，点F在上，若，且，则的长为（    ）． A． B． C． D．5 例3．（2023·上海浦东新·九年级统考期中）已知：如图，在Rt中，．求证：． 例4．（2023·广东·九年级专题练习）如图，中，，，点为边上的点，点为线段上一点，且，，，则的长为 ． 例5．（2023·辽宁沈阳·统考二模）在菱形中，．点，分别在边，上，且．连接，． （1）如图1，连接，求证：是等边三角形；（2）平分交于点． ①如图2，交于点，点是的中点，当时，求的长． ②如图3，是的中点，点是线段上一动点（点与点，点不重合）．当，时，是否存在直线将分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1∶3．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 例6．（2023·江西吉安·统考一模）综合与实践 数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣． 折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1． （1）_________，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）； 转一转：将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2． （2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为_________； （3）连接正方形对角线BD，若图2中的的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N．如图3，则________；剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．（4）求证：． 例7．（2022·广东深圳·统考二模）【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点为公共顶点，，若固定不动，将绕点旋转，边，与边分别交于点，（点不与点重合，点不与点重合），则结论是否成立______（填“成立”或“不成立”）； 【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点，，且满足，求证：； 【拓展延伸】（3）如图3，菱形的边长为，，的两边分别与，相交于点，，且满足，若，则线段的长为______． 课后专项训练 1．（2023.广东九年级期中）如图，在中，，点D、E在边上，，若，则的面积为（ ） A．20 B．24 C．32 D．36 2．（2023·广东广州·统考一模）如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE=45°，连接EF、BF，则下列结论不正确的是（  ）． A．△AED