1.3.2 正方形的判定 课件 2023-—2024学年北师大版数学九年级上册

1.3.2 正方形的判定 九年级上册 BSD 初中数学 1 四个角都是直角 两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角 轴对称图形，有四条对称轴. 正方形的性质有哪些？ 对边平行，四条边都相等 知识回顾 1.理解并掌握正方形的判定和推导过程. 2.能熟练运用正方形的判定进行计算和证明. 学习目标 阳阳在商场看中了一块手帕，但不知是否是正方形，只见售货员阿姨拉起手帕的一组对角，另一组对角能完全重合，看阳阳还在犹豫，又拉起 手帕的另一组对角，剩下的那组 对角也能完全重合.阿姨认为这样 就能证明手帕是正方形，那么你 认为这块手帕一定是正方形吗？ 课堂导入 将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开. 怎样剪才能剪出一个正方形？ 提示：剪口线与折痕成 45°角即可. 知识点1：正方形的判定 新知探究 +有一个角是直角 +有一组邻边相等 +有一组邻边相等 +有一个角是直角 +对角线相等 +对角线垂直 如何判定一个四边形是正方形，一般思考方法是什么？ 平行四边形 矩形 菱形 正方形 判断四边形是正方形有哪些方法？ 1.先说明它是平行四边形，再说明有一组邻边相等，有一个角是直角.（定义法） 2.先说明它是矩形，再说明这个矩形有一组邻边相等. 3.先说明它是菱形，再说明这个菱形有一个角是直角. 有一组邻边相等的矩形是正方形. 定理 数学语言： 在矩形ABCD中， ∵AB=BC， ∴四边形ABCD是正方形. A B D C 已知：ABCD 是矩形，且 AB = BC，试证明ABCD 是正方形. 证明：∵ABCD 是矩形，∴∠A = 90°， 又∵AB = BC， ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）. 定理证明 数学语言： 在矩形ABCD中， ∵ AC⊥BD, ∴四边形ABCD是正方形. A B D C O 对角线互相垂直的矩形是正方形. 定理 已知：ABCD 是矩形， AC ⊥ BD，试证明ABCD 是正方形. 证明：∵ABCD 是矩形， ∴∠A = 90°，OA = OB = OC = OD， 又∵AC ⊥ BD， ∴△AOB ≌ △AOD（SAS），∴AB = AD， ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）. 定理证明 有一个角是直角的菱形是正方形. 定理 数学语言： 在菱形ABCD中，∵ ∠A=90〫, ∴四边形ABCD是正方形. A B D C 已知：ABCD 是菱形， ∠A=90°，试证明ABCD 是正方形. 证明：∵ABCD 是菱形， ∴ AB = BC = CD = DA， 又∵∠A = 90° ， ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）. 定理证明 对角线相等的菱形是正方形. 定理 数学语言： 在菱形ABCD中， ∵ AC=BD, ∴四边形ABCD是正方形. A B D C O 已知：ABCD 是菱形， AC = BD，试证明，ABCD 是正方形. 证明：∵ABCD 是菱形， ∴ AB = BC = CD = DA，OA = OC = OB = OD ∴AC⊥BD（菱形对角线互相垂直） 又∵AC = BD ， ∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形. ∴∠ABC = 90°. ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）. 定理证明 例2 已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求证：四边形 BECF 是正方形. 证明：∵BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形 BECF 是平行四边形. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC = 90°，∠DCB = 90°. 又∵BE平分∠ABC，CE 平分∠DCB， ∴∠EBC =∠ABC = 45°，∠ECB =∠DCB = 45°. ∴∠EBC = ∠ECB. ∴ EB = EC. ∴□ BECF 是菱形（菱形的定义）. 在△EBC 中，∵∠EBC = 45°，∠ECB = 45°， ∴∠BEC = 90°. ∴菱形 BECF 是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）. 例2 已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求证：四边形 BECF 是正方形. 三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 如图，在△ABC 中，EF 为 △ABC 的中位线， ①若∠BEF = 30°，则∠A =______. ②若 EF = 8 cm, 则 AC =______. 你还记得三角形的中位线定理吗？ 30° 16 cm 新知探究 知识点2：中点四边形 如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？ 任意四边形的中点四边形 是平行四边形. A B C D E F G H