1.2.2 矩形的判定 课件 2023—2024学年北师大版数学九年级上册

1.2.2 矩形的判定 1 矩形的定义： 平行四边形 矩形 有一个角是直角 边 角 对角线 对称性 矩形的性质 矩形的对边平行且相等. 矩形的四个角都是直角. 矩形的两条对角线相等且互相平分. 中心对称图形、 轴对称图形 知识回顾 1.理解并掌握矩形的判定办法. 2.能熟练运用矩形的定义和判定知识进行计算和证明. 学习目标 如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化. 新知探究 知识点：矩形的判定 探索活动 （1）随着∠α 的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化？ （2）当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？ 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形. 已知：如图，在 □ ABCD 中，AC ，DB 是它的两条对角线，AC = DB. 求证：□ ABCD 是矩形. 证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB = DC，AB∥DC. 又∵BC = CB，AC = DB， ∴△ABC≌△DCB. ∴∠ABC=∠DCB. ∵AB∥DC，∴∠ABC+ ∠DCB = 180°. ∴∠ABC=∠DCB= 90°. ∴□ABCD 是矩形（矩形的定义）. 证明猜想 数学语言： 在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形. A B D C 对角线相等的平行四边形是矩形. 通过以上证明，我们得到矩形的判定方法： 思考 我们知道，矩形的四个角都是直角，那么反过来说“四个角都是直角的四边形是矩形”成立吗？ × × √ ┐ ┐ ┐ ┐ 成立 ┐ 一个角是直角 ┐ ┐ 两个角是直角 ┐ ┐ ┐ 三个角是直角 至少有几个角是直角的四边形是矩形呢？ 有三个角是直角的四边形是矩形吗? 已知:如图，在四边形 ABCD, ∠A =∠B=∠C = 90°. 求证: 四边形 ABCD 是矩形. 证明: ∵∠A =∠B =∠C= 90°, ∴∠A+∠B = 180°, ∠B +∠C=180°. ∴AD∥BC，AB∥CD. ∴四边形 ABCD 是平行四边形. ∴四边形 ABCD 是矩形. 证明猜想 数学语言： 在四边形ABCD中， ∵ ∠A=∠B=∠C=90〫， ∴四边形ABCD是矩形. A B D C ┐ ┐ ┐ 有三个角是直角的四边形是矩形. 通过以上证明，我们得到矩形的判定方法： 判定方法 数学语言 图形 角 对角线 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形. 在四边形ABCD中，∵∠A= ∠B=∠C=90〫,∴四边形ABCD是矩形. A B D C A D B C O 对角线相等的平行四边形是矩形. 在 ABCD中， ∵ AC= BD, ∴ ABCD是矩形. 在 ABCD中， ∵∠A= 90〫 ∴ ABCD是矩形. 1. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是平行四边形呢？ 用绳子测量四边形的两组对边是否相等，相等则是平行四边形. 议一议 2. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是菱形呢？ 拿绳子测量四边形的每一个边长，如果四边长度一样，那么根据菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形. 议一议 3. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是矩形呢？ 先用绳子测量四边形的两对边是否相等，相等则是平行四边形. 再用绳子测量对角线是否相等. 对角线相等的平行四边形是矩形. 议一议 例2 如图在 □ ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，△ABO 是等边三角形，AB = 4. 求 □ ABCD 的面积. 解: ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴OA = OC,OB = OD. 又∵△ABO 是等边三角形， ∴OA = OB = AB = 4. ∴OA = OB = OC = OD = 4. ∴AC = BD = 2OA = 2×4 = 8. ∴□ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）. ∴∠ABC = 90°（矩形的四个角都是直角）. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2+BC2 = AC2， ∴BC=4 ∴S□ABCD = AB·BC = 4×4= 16 . 1.(教材P16随堂练习)已知：如图，在 □ ABCD 中，M 是 AD 边的中点，且MB = MC. 求证：四边形 ABCD 是矩形. 证明：在□ ABCD 中，AB = CD，M 是 AD 边的中点， ∴MA = MD，且 MB = MC，即△ABM≌△DCM，∴∠A =∠D. 又∵∠A +∠D = 180°，∴∠A =∠D = 90°. ∴四边形 ABCD 是矩形. 随堂练习 2.（