第15讲 相似三角形的性质与应用 2022-2023学年人教版九年级下册数学27章相似

第15讲 相似三角形的性质与应用 【知识点一】相似三角形的对应角相等，对应边的比相等 例1．如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，BD＝18cm，BC＝20cm，∠BAC＝75°，∠ABC＝40°． 求：（1）∠ADE和∠AED的度数； （2）DE的长． 变式1．已知△ABC∽△A'B'C'，AB＝8，A'B'＝6，则（　　） A．2 B． C．3 D． 变式2．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 变式3．如图，已知△ADE∽△ABC，且AD＝6，AE＝4，AB＝12，求CD的长． 【知识点二】相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比 例2．如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长13cm，BC边上的高AD为6cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上． （1）求证：△AEF∽△ABC； （2）求这个正方形零件的边长． 变式1．如图，Rt△ABC的硬纸片，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，AD为BC边上的高，从这张硬纸片剪下一个如图所示的内接正方形EFGH，则正方形EFGH的边长为　 　． 变式2． 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使矩形PQMN的边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上． （1）当矩形的边PN＝PQ时，求此时矩形零件PQMN的面积； （2）求这个矩形零件PQMN面积S的最大值． 【知识点三】相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方 例3．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：①BC＝3DE；②＝；③＝；④＝；其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 变式1．若△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为（　　） A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4 变式2．如图，在△ABC中，已知EF∥BC，＝，△AFE的面积为1，则△ABC的面积等于（　　） A．4 B．6 C．9 D．12 变式3．在△ABC中，DE∥BC，＝，记△ADE面积为S1，四边形DBCE面积为S2，则值是（　　） A． B． C． D． 【知识点四】三角形的重心 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段. 即 . 例4．如图G为△ABC的重心，GE∥AC，若S△ABC＝72，则S△GDE＝　 　． 变式1．如图所示，G为△ABC重心（即AD，BE，CF分别为各边的中线），若已知S△EFG＝1，则S△ABC为（　　） A．2 B．4 C．8 D．12 变式2．如图，点G为△ABC的重心，连接AG、BG并延长，分别交BC、AC于点D、E，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么＝　 　． 【知识点五】相似三角形的应用 例5．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A，D两个端点之间的距离为10cm，，则容器的内径是（　　） A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm 变式1．如图，小雅同学在利用标杆BE测量建筑物的高度时，测得标杆BE高1.2m，又知AB：BC＝1：8，则建筑物CD的高是（　　） A．9.6m B．10.8m C．12m D．14m 变式2．如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.5m，她离镜子的水平距离CE＝0.5m，镜子E离旗杆的底部A处的距离AE＝2m，且A、C、E三点在同一水平直线上，则旗杆AB的高度为（　　） A．4.5m B．4.8m C．5.5m D．6 m 变式3．如图，学校平房的窗外有一路灯AB，路灯光能通过窗户CD照到平房内EF处；经过测量得：窗户距地面高OD＝1.5m，窗户高度DC＝0.8m，OE＝lm，OF＝3m；求路灯AB的高． 作业题 1．若△ABC∽△DEF，相似比为2：1，则△ABC与△DEF对应的高线之比为（　　） A．1：2 B．2：1 C．4：1 D．1：4 2．如果两个相似三角形的对应边上的高之比为1：3，则两三角形的面积比为（　　） A．2：3 B．1：3 C．1：9 D．1： 3．如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为30cm，到屏幕的距离为90cm，且幻灯片中的图形的高度为7cm，则屏幕上图形的高度为（　　） A．6cm B．12cm C．21cm D．24cm 4．如图有一块四边形草地ABCD，AD∥BC，其中AB＝4，BC＝5，由于连