第13讲 比例 2022-2023学年人教版九年级下册数学 27章图形的相似

第13讲 比例 【知识点一】比例性质 1、比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b=c：d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 2、比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．若，则 （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若 ，则ad=bc． ②合比性质：若 ，则． ③分比性质：若 ，则． ④合分比性质．若 ，则 ． ⑤等比性质．若 （b+d+…+n≠0），则． 例1．给出下列各组线段，其中成比例线段是（　　） A．a=2cm，b=4cm，c=6cm，d=8cm B．a=cm，b=cm，c=cm，d=cm C．a=cm，b=cm，c=cm，d=2cm D．a=2cm，b=cm，c=2cm，d=cm 变式1．已知，那么的值为（　　） A． B． C． D． 变式2．已知，那么下列等式中，不成立的是（　　） A． B． C． D．4x=3y 变式3．已知四条线段a，b，c，d四条线段成比例，且a=1，b=，c=，求线段d． 例2．若，则k=　 　． 变式1．已知==，且a+b﹣2c=6，则a的值为　 　． 变式2．若a，b，c满足==≠0，且2a+b+4c=78，则5a﹣3b+c的值为　　． 变式3．若，则=　 　 例3．已知线段a、b、c满足a：b：c=3：2：6，且a+2b+c=26． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 变式1．已知a=9，c=4，如果b是a、c的比例中项，那么b=　 　． 变式2．已知c为a，b的比例中项，a=3，，则b=　 　． 【知识点一】黄金分割 （1） 黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即ABAC=ACBC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：． （2） 黄金矩形：黄金矩形的长宽之比确切值为． 例4．（1）我们知道，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，使AP＞PB，点P把线段AB分成两条线段AP和BP，且=，点P就是线段AB的黄金分割点，此时的值为　 　 （填一个实数）： （2）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD长为半径画弧交边AB于E． 求证：点E是线段AB的黄金分割点． 有 变式1．已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论正确的是（　　） A．AB2=AC•BC B．BC2=AC•BC C．AC=BC D．BC=AB 变式2．点C是线段AB的黄金分割点，且AB=6cm，则BC的长为（　　） A．（3﹣3）cm B．（9﹣3）cm C．（3﹣3）cm 或（9﹣3）cm D．（9﹣3）cm 或（6﹣6）cm 变式3．一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为14cm，则它的长为（　　） A．（7+7）cm B．（21﹣7）cm C．（7﹣7）cm D．（7﹣21）cm 变式4．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则有（　　） A．AB2=AP•PB B．AP2=BP•AB C．BP2=AP•AB D．AP•AB=PB•AP 变式5．据有关实验测定，当气温处于人体正常体温（37℃）的黄金比值时，人体感到最舒适．这个气温约为　 　℃（精确到1℃）． 【知识点一】平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）定理2：如果