第14讲 相似三角形定义及判定2022-2023学年人教版九年级数学下册

第14讲 相似三角形定义及判定 【知识点一】相似三角形 在和中，如果 我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 注意： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 例1 判断对错： (1)两个直角三角形一定相似吗？为什么？ 　　 (2) 两个等腰三角形一定相似吗？为什么？ 　　 (3) 两个等边三角形一定相似吗？为什么？ 变式2 下列各组图形中可能不相似的是（　　） A．各有一个角是45°的两个等腰三角形 B．各有一个角是60°的两个等腰三角形 C．各有一个角是105°的两个等腰三角形 D．两个等腰直角三角形 【知识点二】相似三角形的判定定理 判定方法 1、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 2、如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 3、如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 例2．如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，交⊙O 于点 E， 则与△ABD 相似的三角形有 个。 变式1．已知如图所示，则下列4个三角形中，与相似的是（ ） A. B. C. D. 如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，交⊙O 于点 E，则与△ ACE 相似的三角形有（ ） A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 变式2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则图中相似三角形有（ ）． 　　A．4对 　　　B．3对　　　 C．2对　　　 D．1对 变式3．如图，添加一个条件： ，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可） 例3．如图，在正方形 ABCD 中，E 为边 AD 的中点，点 F 在边 CD 上，且 CF=3FD，△ABE 与△DEF 相似吗？为什么？ 变式1．如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过顶点D作，垂足为F，求证：. 变式2．如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40． 求证：△ABC∽△AED． 变式3．如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，则下列结论成立的是（ ） A．△PAB∽△PCA B．△ABC∽△DBA C．△PAB∽△PDA D．△ABC∽△DCA 例4．如图，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上△ABC和△DEF相似吗？为什么？ 变式1．如图，在2×3的方格中，画有格点△ABC，下列选项的方格中所画格点三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 变式2．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 变式3．图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知△ABC的顶点均在格点上．在图中，以格点为顶点，画出△AFC，使△AFC与△ABC相似，且相似比不是1．（画出一个即可） 【知识点三】射影定理 射影定理　直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。 如图：Ｒt△ABC中，若CD为高，则有CD２＝BD•AD、BC２＝BD•AB或AC２＝AD•AB。　 　　　　 例5．已知：如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若AC＝6，BC＝8 （1）求证：AC2＝AD•AB． （2）求线段AD，BD，CD的长． 变式1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝2，AB＝3，则CD为（　　） A． B． C．2 D．3 变式2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，若AB＝2，BC＝4．则DC的长度为（　　） A．1 B． C．3 D．2 变式3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝6，BD＝3． （1）求∠A的度数；（2）求BC的长及△ABC的面积． 作业题 1．如图，下列条件中，不能判定△ACD∽△ABC的是（　　） A．∠ADC＝∠ACB B．∠B＝∠ACD C．∠ACD＝∠BCD D． 2．如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是（　　） A．AC：BC＝AD：BD B．AC：BC＝AB：AD C．AB2＝CD•BC D．