4.3.2对数的运算-【赢在课堂】2023-2024学年高一数学同步精品课件（人教A版2019必修第一册）

4.3.2对数的运算 复习导入 前面我们学习了指数幂运算的性质： 复习导入 上一课时中我们学习了，指数和对数的关系： 底数 指数 幂 对数 真数 底数 问题：我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数幂运算性质得出相应的对数运算性质吗？ 新知探究 思考：计算：=______，=______，=______. 观察上题中数值之间的关系，你有何猜想？ （1）即，则 （2）即 即 新知探究 问题：计算：=______，=______，=______. 观察上题中数值之间的关系，你有何猜想？ （3）即 即 思考：你能根据指数与对数的关系以及指数运算性质，证明以上对数运算性质吗？ 新知探究 （1）； 证明：设，于是， 由对数的定义得到 ， ， ∴，其中且，，0. 即：同底对数相加，底数不变，真数相乘. 新知探究 （2）； 证明：设，于是， 由对数的定义得到 ， ， ∴，其中且，，0. 即：同底对数相减，底数不变，真数相除. 新知探究 证明设 ∵∴. 根据对数与指数间的关系可得： ∴. （3）. 新知探究 如果，且，，，那么 ① ② ③ 新知探究 例3：求下列各式的值： (1) (2). ① ② ③ 解： 52 19. 新知探究 例4：用表示. 解： 变式3：计算下列各式： ①② 解：①原式 ②原式 ① ② ③ 新知探究 数学史上，人们经过大量努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就可以求出任意正数的常用对数或自然对数.这样，如果能将其他底的对数转换为以10或为底的对数，就能方便地求出这些对数. 你能根据对数的定义推导出下面的公式吗？ （ ，且；；，且 ） 设 ，且 所以，即 ，所以. 对数换底公式 新知探究 活动：通过对数换底公式，我们可以得到一些有用的推论，请尝试证明下列推论. (1)；(2)；(3). 证明(1)： 证明(2)：∵∴ 证明(3)： 练习巩固 练习2：若则 等于（ ）. . . . . 【答案】：；分析： 练习1：若计算下列各式： 练习巩固 变式1：若计算下列各式： 【答案】：； ； 2； . 练习巩固 变式1-1：化简下列各式 ； ； 解：（1）原式 （2）原式 练习巩固 变式2-1：设，则 . . . . 【答案】： 变式2-2：已知，，请用表示下列各式： ① ②； ③ ； ④ 【答案】：① ② ③ ④ 练习巩固 练习3. 求值： ； 解：（1）原式 （2）原式 变式3-1. 计算的值. 解：原式 练习巩固 变式3-2. 若则的值为_______. 解：由已知可得即， ∴即 变式3-3. 计算 解：(2)原式 练习巩固 变式3-4. 已知用表示的值. 解：∵∴ 于是 小结 如果，且，，，那么 ① ② ③ ④ （ ，且；；，且 ） $$