4.2.2 等差数列的前n项和课件（1）-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.2 等差数列的前n项和（1） 讲课人：XXX 一、课堂引入 高斯7岁那年开始上学。10岁的时候，他进入了学习数学的班级，这是一个首次创办的班，孩子们在这之前都没有听说过算术这么一门课程。 一天，老师布置了一道题，1+2+3······，这样从1一直加到100等于多少。高斯很快就算出了答案，起初高斯的老师并不相信高斯算出了正确答案："你一定是算错了，回去再算算。"高斯非常坚定，说出答案就是5050。高斯是这样算的:1+100=101，2+99=101，······，50+51=101。从1加到100有50组这样的数，所以50101=5050. 2 一、课堂引入 高斯的算法实际上解决了求等差数列 1，2，3，…，n，… ① 前100项的和的问题. 3 你能从中得到求数列①的前n项和的方法吗？ 高斯在计算中利用了 即上节课例5性质的应用 若{}是等差数列，,且 . 则 对于数列①，设 1，2，3，…，n，… ① 等差数列中，下标和相等的两项和相等。 二、新知讲解 4 二、新知讲解 将上述方法推广到一般，可以得到： 当n是偶数时，有 于是有 5 二、新知讲解 当n是奇数时，有 所以，对于任意正整数n，都有 6 二、新知讲解 如果对公式 作变形，可得 它相当于两个相加，而结果变成n个（n+1）相加. 受此启发，我们得到下面的方法： 7 二、新知讲解 将上述两式相加，可得 所以 倒序相加法 8 二、新知讲解 等差数列的前n项和公式 (1) 把等差数列的通项公式代入公式（1），可得 (2) 9 二、新知讲解 10 三、例题讲解 例6 已知数列是等差数列. （1）若，，求 ； （2）若，，求； （3）若， , ，求n. 11 三、例题讲解 12 三、例题讲解 13 三、例题讲解 例7 已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？ 解：由题意，知 ， . 把它们代入公式 ， 得 解方程组，得 所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差. 14 四、合作探究 提示：观察C列，显然，是等差数列。 15 思考：已知数列的前n项和为，其中 为常数，且 那么这个数列一定是等差数列吗？若是，则它的首项与公差分别是多少？ 解： ∵ 当时， 当n=1时， 又 ∵ 当n=1时， 四、合作探究 ∴ 当且仅当r=0时，满足 思考： 故只有当r=0时，该数列才是等差数列， 此时，首项，公差 当 时，不满足 ，此时，数列不是等差数列. 四、合作探究 总结： 数列是等差数列 (p、q为常数) 五、巩固训练 1.已知等差数列 的前9项和为27， ，则 ( ). A. B. C. D. C [解析] 是等差数列，设其公差为 ， ， .又 ，∴ 解得 .故选C. 18 五、巩固训练 2．已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项和S10＝(　　) A．138 B．135 C．95 D．23 C 19 五、巩固训练 3.设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 ( ). A. B. C. D. A [解析] 因为 ， 所以 . 20 五、巩固训练 4.已知在等差数列 中， （1） ， ， ，求 ； （2） ， ， ，求 . [解析] （1）由 ， 整理得 ，解得 或 （舍去）. （2）由 ， 解得 .又 ， 即 ，解得 . 21 五、课堂小结 问：本节课你有什么收获？ 22 六、作业 23 谢谢！ $$