3.2.2.2 双曲线的简单几何性质（第二课时）导学案 — 2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2.2双曲线的简单几何性质 3.2.2.2双曲线的标准方程及性质的应用 【教学目标】 1.知识目标：理解判断值线与双曲线位置关系的方法 2.能力目标：会求解有关弦长问题，会解决直线与双曲线的综合问题， 3.思政目标：通过解决弦长问题和综合问题，发展数学抽象及逻辑推理素养， 【教学过程】 一、导学（学习8分钟+合作探究3分钟+展示3分钟） (一)工具性知识题 1.直线与双曲线位置关系判断 设直线/：y=kx+m(m≠0)，① 双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0.b>0).② 将①代入②，得Ax2+Bx+C=0 a.当A=0时，直线/与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交干一点. b.当A≠0时 ①△>0直线与双曲线有两个公共点，此时直线与双曲线相交： ②△=0直线与双曲线有一个公共点，此时直线与双曲线相切： ③△<0直线与双曲线没有公共点，此时直线与双曲线相离 温馨提示(1)相交时可能有一个或两个公共点：有一个公共点时，直线与双曲线可能相切 或相交(2)消元后注意二次项的系数，二次项系数可能为0，此时，直线与双曲线的渐近 线平行 2.双曲线的弦长及中点弦问题 ①弦长公式：若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交干A(X1.,B(X2,2).则AB引=(1 +k2)[x1+x2)2-4x1x21 ②已知弦AB的中点为P(xo,yo,若双曲线方程为X2a2一y2b2=1,则直线AB的斜率 为k=b2a2·x0y0:若双曲线方程为y2a2-x2b2=1.则直线AB的斜率为k=a2b2 x0y0. 第1页，共4页 (二)能力训练题 题型一直线与双曲线的位置关系 例1已知双曲线x2一y2=4,直线/：y=k(x一1).直线/与双曲线有两个不同的公共点， 确定满足条件的实数k的取值范围， 题型二双曲线的弦长及中点弦问题 例2已知双曲线的方程为x2-y22=1.试问：双曲线上是否存在被点B(1.1)平分的弦？ 如果存在，求出弦所在的直线方程：如果不存在，请说明理由. 题型三直线与双曲线的综合问题 例3设A,B分别为双曲线x2a2一y2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴 长为43，焦点到渐近线的距离为3. (1)求双曲线的方程： (2)已知直线y=3)3x一2与双曲线的右支交干M,N两点，且在双曲线的右支上存在点D, 使+=t,求t的值及点D的坐标 二、评学(14分钟) 三、拓展与提升(10分钟) 四、悟学、课堂总结(2分钟) 1.直线y=bax+3与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的交点个数是() A.1B.2C.1或2D.0 2.设双曲线x29一y216=1的右顶点为A,右焦点为F,过点F作平行干双曲线的一条渐 近线的直线与双曲线交干点B.则△AFB的面积为」 1.重要思想与方法：数形结合 2.易错易混点提醒：直线与双曲线的位置关系可以通过联立直线方程与双曲线方程得到的 方程来判断，首先看二次项系数是否为需，若不为雾，再利用△来判断直线与双曲线的位 置关系.代数计算中的运算失误， 3.反思： 第2页，共4页 3.2.2.2双曲线的标准方程及性质的应用 例1【详解】解联立×2-y2=4,y=k口x一1口，)消去y,得(1-k2)x2+2k2x-k2-4 =0.() 当1-k2≠0.即k≠±1时.△=(2k2)2-41-k2(-k2-4)=4(4-3k2). 由4一3k2>0.1一k2+0,)得一3)3<k<3)3且k≠±1.此时方程(*)有两个不同的实数 解，即直线/与双曲线有两个不同的公共点 例2解方法一设被点B(1.1)所平分的弦所在的值线方程为y=k(x一1)+1.代入双 曲线方程x2-y22=1.得(k2-2)x2-2kk-1)x+k2-2k+3=0..△=[-2k(k-1)] 2-4(2-2)k2-2k+3)>0,解得k<32.设弦的两端点为MX1,1).MX2,y2).则X1 +x2=2k0k-10k2-2. 点B(1,1)是弦的中点，k口k一1口k2-2=1,∴k=2>32.故双曲线不存在被点B(1. 1)平分的弦 方法二设双曲线上存在被点B平分的弦MN,且点MX1,h).N(X2,2),则X1十X2 =2,+2=2.且x1olal(2y1olal(2122 lo lal(222)=1,②由@-②得(x1+x2) (x1-X2)-12(y1+y2h-2)=0, ∴kMww=y1-y2x1-X2=2.∴.直线MN的方程为y-1=2(X-1).即y=2X-1 由y=2x-1,y22)=1,消去y.得2x2-4x+3=0.又△=-8<0.∴直线MN与双曲 线不相交 故双曲线上不存在被点B平分的弦 例3解(1)由题意知a=23.∴.一条渐近线为y=b2\r(3)x,即bX一23y=0. bcr