第22章 二次函数 —— 二次函数的最值与实际应用 讲义 2023—2024学年人教版数学九年级上册

第6讲 二次函数的最值 【知识点一】求二次函数的最大（小）值的方法 1.如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，． 2.如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况． 类型一 例1．二次函数y＝﹣x2+2x﹣5有（　　） A．最大值﹣5 B．最小值﹣5 C．最大值﹣4 D．最小值﹣4 变式1．已知二次函数y＝﹣（x+3）2，那么这个二次函数的图象有（　　） A．最高点（3，0） B．最高点（﹣3，0） C．最低点（3，0） D．最低点（﹣3，0） 变式2．二次函数y＝（x+1）2﹣6有（　　） A．最大值﹣5 B．最小值﹣5 C．最大值﹣6 D．最小值﹣6 变式3．当x＝　 　时，二次函数y＝x2﹣2x+6有最小值　 　． 类型二 例2．分别在下列范围内求函数的最大值或最小值． (1)0＜x＜2； (2)2≤x≤3 （3）0≤x≤3 变式1．函数y＝﹣（x﹣1）2+1（x≥3）的最大值是　 　． 变式2．分别在下列范围内求函数的最大值或最小值． (1)﹣5＜x＜2； (2)2≤x≤3． 类型三 例3．若点M（m，n）是抛物线y＝﹣2x2+2x﹣3上的点，则m﹣n的最小值是（　　） A．0 B． C． D．﹣3 变式1．m+n＝1．设y＝m2+n2，则y的取值范围是　 　． 变式2．若实数x，y满足条件2x2﹣6x+y2＝0，则x2+y2+2x的最大值是（　　） A．14 B．15 C．16 D．不能确定 类型四 例4．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+1（m为常数），当自变量x的值满足﹣3≤x≤﹣1时，与其对应的函数值y的最小值为5，求m的值． 变式1．已知函数y＝﹣4x2+4ax﹣4a﹣a2 （1）当a=时，求函数在0≤x≤1上的最小值； （2）若函数在0≤x≤1上的最大值是﹣5，求a的值． 变式2．求二次函数，当时，的最大值和最小值。 变式3．（浙江嘉兴）当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（　　） 　 A．﹣ B． 或 C． 2或 D． 2或﹣或 类型五 例5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，动点M从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AC方向向C点运动，动点N从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着CB方向向B点运动，如果M，N两点同时出发，当M到达C点处时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒，△MCN的面积为S． （1）用含t的代数式表示：CM＝　 　，CN＝　 　，S＝　 　； （2）求S的最大值． 变式．如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC+BD＝16，则四边形ABCD的面积最大值是（　　） A．16 B．32 C．36 D．64 作业题 1．二次函数y＝（x﹣1）2﹣5的最小值是（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 2．已知二次函数y＝ax2+bx+16的图象经过点（﹣2，40）和点（6，﹣8） （1）分别求a、b的值，并指出二次函数图象的顶点、对称轴； （2）当﹣2≤x≤6时，试求二次函数y的最大值与最小值． 3．已知二次函数y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a有最大值﹣3，求实数a的值． 4．已知二次函数y＝（x﹣m+3）（x+m﹣5）+n，其中m，n为常数，则（　　） A．m＞1，n＜0 时，二次函数的最小值大于 0 B．m＝1，n＞0 时，二次函数的最小值大于 0 C．m＜1，n＞0 时，二次函数的最小值小于 0 D．m＝1，n＜0 时，二次函数的最小值小于 0 5．已知函数y＝+x，下列结论中正确的是（　　） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 第7讲 二次函数的应用 例1．某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件．设每件涨价x元（x为非负整数），每星期的销量为y件． （1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）设利润为W元，写出W与x的函数关系式． 变式1． 某畅销书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，书城准备开展“读书