4.2.1指数函数的概念课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

指数函数的概念 新课程标准 核心素养 1.通过实际问题了解指数函数的实际背景 数学抽象 2.理解指数函数的概念与意义 数学抽象 3.理解指数函数增长变化迅速的特点 直观想象 棋盘上的麦粒 在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人--宰相 西萨·班·达依尔。国王问他想要什么， 他对国王说："陛下，请您在这棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍。请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧!"国王觉得这要求太容易满足了，命令给他这些麦粒。当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求。 总数为：18446744073709551615(粒) ，1000粒约40克麦粒有7000多亿吨（现每年全球的小麦总量约6.5亿吨） 1．现在假设棋盘上第一格给2粒麦子，第二格给4粒，第三格给8粒……，到第x格时，请大家写出需要给的麦子粒数y与格子数x的关系式。 x格 麦粒数y 1 2 2 4 3 8 4 16 … … x y=? y = 2x 对幂函数的研究，了解了研究一类函数的过程和方法: “背景——概念——图像与性质——应用 情境导入 一个故事 一句话 “一尺之棰，日取之半，万世不竭” 一张纸的妙用 将它对折103次，宇宙都无法 装下这张纸 问题2 《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”请你写出截取x次后，木棰剩余量y关于x的函数关系式？ 截取 次数 木棰 剩余 1次 2次 3次 4次 x次 提炼 问题：以上两个式子有何共同特征？ (1)均是幂值形式； (2)底是一个正的常数； (3)自变量x在指数位置上； 【问题1】随着中国经济的高速增长，旅游人数不断增加，A、B两个景区 自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了门票价格，B地则取消了 门票.下表给了A、B两个景区2001~2015年的游客人次及逐年增加量. 比较一下两地景区旅游人次的变化情况，你发现了怎样的规律？ A地区经营地比较平衡，B地区发展比较快. 为了便于观察，我们把表格中的数据画成图像： 观察图像和表格，可以发现：A景区的游客人次近似于直线上升(线性增长)，年增加量大致相等(约为10万人次)；B景区的游客人次是非线性增长，年增加量越来越大，难从图像和年增加量都难看出变化规律. 【探究】我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的. 那么能否通过对B景区每年的游客人次做其他运算来发现规律呢？ 【尝试】从2002年起，将B景区每年的游客人次除以上一年的游客人次， 可以得到 2002年游客人次 2001年游客人次 = 2003年游客人次 2002年游客人次 = 2015年游客人次 2014年游客人次 = 增加量=变后量-变前量 增长率= 增加量 变前量 【结论】结果表明，B景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1=0.11，是一个常数. 【总结】像这样，增长率为常数的变化方式，称为指数增长.因此， B景区的游客 人数近似于指数增长.即从2001年起，每一年的游客 人次都是上一年的1.1倍左右，增长量越来越多. 1年后，游客人次是2001年的1.111倍； 2年后，游客人次是2001年的1.112倍； 3年后，游客人次是2001年的1.113倍； ...x年后，游客人次是2001年的1.11x倍。 如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍 那么y=1.11x(x∈[0,+∞)这是一个函数，其中指数x是自变量。 指数函数的定义 一般地：形如y = ax (a>0且a≠1)的函数叫做指数函数.其中x是自变量,函数的定义域是R 观察指数函数的特点: x系数为1 系数为1 底数为正数且不为1 指数函数y=ax(a>0且a≠1)与幂函数y=xa有什么区别和联系？ 为什么概念中明确规定a>0,且 a≠1？ 当a<0时，a x有些会没有意义，如 当a=0时，a x有些会没有意义，如 当a=1时，a x 恒等于1，没有研究的必要. 为了便于研究，规定： (a>0且a≠1) 判断下列函数是否是指数函数 例1 已知指数函数f(x)=ax (a>0，且a≠1) ，且f(3)=π，求f(0)，f(1)，f(-3)的值. 2 3.若函数是指数函数，则实数的取值范围是 . 指数型函数的实际应用 角度1　增长型指数函数模型 随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的平均增长率增长，那么2021年年底该地