第24章 圆——圆周角与内接四边形 讲义 2023—2024学年人教版数学九年级上册

第11讲 圆周角与内接四边形 【知识点一】圆周角定理 1.圆周角定义： 　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 　　　　　 2.圆周角定理： 　　圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半． 　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. 　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. （3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图） 观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角? 例1．如图，弦CD与直径AB相交，连接BC、BD，若∠ABC＝50°，则∠BDC＝（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 变式1．如图所示，点A，B，C在圆O上，若∠AOB＝64°，则∠C的度数是（　　） A．64° B．30° C．32° D．34° 变式2．如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，在下列四个说法中，①＝2；②AC＝2CD；③OC⊥BD；④∠AOD＝3∠BOC，正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式3．已知，如图AB、CD是⊙O的弦，AB⊥CD， （1）若∠ADC＝20°，求∠BOD的度数； （2）若∠ADC＝α，求∠AOC+∠BOD． 【知识点二】圆周角定理的推论 3.圆周角定理的推论1： 　　半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 4.圆周角定理的推论2： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等. 例2．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上位于AB两侧的点，若∠BAC＝58°，则∠D＝　 　°． 变式1．如图，AB是半圆O的直径，C，D是上两点，若∠D＝110°，则∠ABC＝　 　度． 变式2．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC交⊙O于点E，点E不与点A重合， （1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？ （2）若∠B＝60°，BD＝3，求AB的长． 【知识点三】圆内接四边形 要点一、圆内接四边形 　如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 要点二、圆内接四边形性质定理 圆内接四边形的对角互补. 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）. 例3．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，连接OB、OD，若四边形ABOD是平行四边形，则∠ABO的度数是（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 变式1．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD＝130°，则∠DCE的度数为（　　） A．45° B．50° C．65° D．75° 变式2．如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，若∠BAC＝35°，∠CBD＝70°，则∠BCD的度数为　 　． 变式3．如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠AEC的度数为（　　） A．106° B．116° C．126° D．136° 变式4．已知如图，⊙O的半径为4，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且∠C＝2∠A． （1）求∠A的度数． （2）求BD的长． 变式5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD，BC交于P，连结AC． （1）求证：AB＝AP； （2）当AB＝10，DP＝2时，求线段CP的长． 作业题 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝160°，则∠BAD的度数是（　　） A．60° B．80° C．100o D．120° 2．如图，ΔABC是⊙O的内接正三角形，若P是上一点，则∠BPC=______；若M是上一点，则∠BMC=______． 3．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠ACD=30°，AE=2cm．求DB长． 4．如图所示，AB是⊙O的直径，C为的中点，CD⊥AB于D，交AE于F，连接AC， 求证：AF＝CF． 5．已知：如图，⊙O的直径AE=10cm，∠B=∠EAC．求AC的长． 6．已知：如图，∠EAD是圆内接四边形ABCD的一个外角，并且BD=DC． 求证：AD平分∠EAC． 7．已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC＝BE． 求证：△ADE是等腰三角形． 8．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E． （1）若∠B＝70°，求∠CAD的度数； （2）若AB＝4，AC＝3，