第9讲垂径定理 2023-2024学年人教版九年级数学上册

第9讲 垂径定理 【知识点一】垂径定理 　　垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. AE=BE 如图，几何语言为： CD是直径 CD⊥AB 例1．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，CM＝DM＝2，直线MO交圆于E，EM＝8，则圆的半径为（　　） A．4 B．3 C． D． 例2．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长． 变式1．如图，CD是圆O的直径，AB是圆O的弦，且AB＝10，若CD⊥AB于点E，则AE的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 变式2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1cm，CD＝6cm，则AE为（　　） A．4 B．9 C．5 D．8 变式3．如图，⊙O的弦AB⊥OC，且OD＝2DC，AB＝2，则⊙O的半径为（　　） A．1 B．2 C．3 D．9 变式4．AB和CD是⊙O的两条平行弦，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD间的距离为（　　） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 变式5．已知如图所示，在⊙O中，弦AB∥CD,求证： 弧AC=弧BD 变式6．如图，AB为⊙O的弦，M是AB上一点，若AB＝20cm，MB＝8cm，OM＝10cm，求⊙O的半径. 【知识点二】垂径定理推论 定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。 例3．如图，⊙O的弦AB，AC的夹角为50°，M，N分别是和的中点，�求∠MON的度数． 变式1．如图，AB是⊙O的直径，B为弧CD的中点，若CD＝8cm，MB＝2cm，则直径AB的长为（　　） A．9 cm B．10 cm C．11 cm D．12 cm 变式2．已知：如图，⊙O的直径PQ分别交弦AB，CD于点M，N，AM=BM，AB∥CD．求证：DN=CN． 【知识点三】垂径定理的应用 例4．如图在直径为130mm的圆铁片上切下一块高32mm的弓形（圆弧和它所对的弦围成的图形）铁片，求弓形的弦AB的长． 例5．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米． （1）求圆弧所在的圆的半径r的长； （2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？ 变式1．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm． A．6 B． C． D． 变式2．如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施． 变式3．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m． （1）求拱桥的半径； （2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由； 作业题 1．下面四个命题中正确的是( )． A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．如图，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______． 3．如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm． 4．如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=______cm，∠AOB=______． 5．如图，在⊙O中，弦AB＝8，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 6．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，且AB=CD，则圆心O到CD的距离是______． 7．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，∠AEC=30°，求CD的长． 8．已知：⊙O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，AB∥CD．求这两条平行弦AB，CD之间的距离． 9．如图，点A、B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（A，B不重合）连结AP， PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF= . A E O F B P