第24章 圆—— 圆的概念与性质 讲义 2023—2024学年人教版数学九年级上册

第8讲 圆的概念 【知识点一】圆的定义 1.圆的定义：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 　　　　　　　　 2. 弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 　　直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点诠释： 　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 3. 弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 要点诠释： 　　①半圆是弧，而弧不一定是半圆； 　　②无特殊说明时，弧指的是劣弧. 4. 等弧 　　在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 要点诠释： 　　①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； ②圆中两平行弦所夹的弧相等. 5.同心圆与等圆 　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆. 例1．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（　　） A．42° B．28° C．21° D．20° 变式1．下列说法正确的是（　　） A．弦是直径 B．弧是半圆 C．直径是圆中最长的弦 D．半圆是圆中最长的弧 变式2. 下列说法中，不正确的是（ ） A.直径是最长的弦 B.同圆中，所有的半径都相等 C.圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 长度相等的弧是等弧 变式3. 如图，BD=OD，∠AOC=114°，求∠AOD的度数． 【知识点二】点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外. 若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么： 点P在圆内 d ＜ r ； 点P在圆上 d = r ； 点P在圆外 d ＞r. “”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 要点诠释：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上； 例2．如图，已知△ABC，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r． （1）当r取什么值时，点A、B在⊙C外． （2）当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外． 变式1．平面内有两点P，O，⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法判断 变式2．平面上的一个点到圆的最小距离是4cm,最大距离是9cm，则圆的半径是（ ）. A.2.5cm B.6.5cm C. 2.5cm或6.5cm D. 5cm或13cm 变式3．如图，在半圆⊙O中，AB是直径，CD是一条弦，若AB＝10，则△COD面积的最大值是　 　． 变式4．如图，已知矩形ABCD的边AB＝3cm，BC＝4cm，以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A怎样的位置关系． 变式5．如图，矩形ABCD中AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E，作AF⊥BD于点F． （1）求AF、AE的长； （2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围． 【知识点三】确定圆的条件 （1）经过一个已知点能作无数个圆； （2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上； (3）不在同一直线上的三个点确定一个圆. (4)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形. 如图：⊙O是△ABC的外接圆， △ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心. 外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等. 例3．已知：不在同一直线上的三点A、B、C，求作： ⊙O使它经过点A、B、C. 作法： 1、连结AB，作线段AB的垂直平分线MN； 2、连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O； 3、以O为圆心，OB为半径作圆.所以⊙O就是所求作的圆. 【总结升华】通过这个例题的作图可以作出锐角三角形的外心（图一），直角三角形的外心（图二），钝角三角形的外心（图三）.探究各自外心的位置. 例3．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为　 　． 变式1．下列说法正确