第22章 二次函数 ——二次函数与方程、不等式 讲义 2023—2024学年人教版数学九年级上册

第5讲 二次函数与方程不等式 【知识点一】二次函数与一元二次方程 考点：抛物线与直线的交点问题 求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程， （1）当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根； （2）当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； (3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根. 例1．用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列了如下表格： x … 0 1 2 3 4 … y … ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 … 根据表格上的信息回答问题：一元二次方程ax2+bx+c﹣5＝0的解为（　　） A．x1＝﹣2，x2＝4 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝3，x2＝4 D．x1＝﹣4，x2＝4 变式1．已知二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根是（　　） A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝1，x2＝3 变式2．函数y＝ax2+bx+c的图象如图，那么关于x的方程ax2+bx+c﹣4＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个异号的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 变式3．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的对称轴是直线x＝1． （1）求证：2a+b＝0； （2）若关于x的方程ax2﹣bx+6＝0的一个根是4，求方程的另一个根． 【知识点二】利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 　　用图象法解一元二次方程的步骤： 1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； 2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围； 3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值． 4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 例3．下表是一组二次函数y＝x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y ﹣1 ﹣0.49 a 0.59 1.16 已知方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根是1.2，则a可能值范围为（　　） A．a＝﹣1 B．﹣1＜a＜0.49 C．|a|＜0.49 D．1.16≥a≥0.59 变式1．如表给出了二次函数y＝x2+2x﹣10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一个近似解为（　　） x … 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 … y … ﹣1.39 ﹣0.76 ﹣0.11 0.56 1.25 … A．2.2 B．2.3 C．2.4 D．2.5 变式2．二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程 ﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤4 【知识点三】抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 例4．如图所示，y＝mx+n与y＝ax2+k的图象交于（﹣2，b），（5，c）两点，则不等式mx+n＜ax2+k的解集为（　　） A．﹣2＜x＜5 B．x＜﹣2或x＞5 C．﹣5＜x＜2 D．x＜﹣5或x＞2 例5．抛物线经过点A（-3，0），B（4，0）两点，则关于的不等式的解集是__________ 变式1．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（2，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是（　　） A．x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1或x＞2 变式2．如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y2＝﹣x+m与二次函数y1＝ax2+bx﹣3的图象上 （1）求一次函数和二次函数的解析式； （2）请直接写出y2＞y1时，自变量x的取值范围． 变式3．一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0有一个根为x＝3，且y＝ax2﹣2ax+c过（2，﹣3），则不等式ax2﹣2ax+c≤﹣x﹣1的解为　 　． 变式4．如图，抛物线y1＝ax