22.1.4 求二次函数解析式 学案 2023--2024学年人教版九年级数学上册

第3讲 求二次函数解析式 【知识点一】二次函数解析式的三种形式 1.二次函数常用的几种形式 (1)一般式（三点式）：(a，b，c为常数，a≠0)； (2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)； (3)交点式（两根式）：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下 第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或， 或，其中a≠0； 第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 例1．把二次函数 y=3x2－4x+1转化为顶点式和交点式 变式1．把二次函数y＝﹣（x+3）2+11变成一般式是（　　） A．y＝﹣x2+20 B．y＝﹣x2+2 C．y＝﹣x2+6x+20 D．y＝﹣x2﹣6x+2 变式2．将二次函数y＝2x2﹣4x+1化为顶点式，正确的是（　　） A．y＝2（x﹣1）2+1 B．y＝2（x+1）2﹣1 C．y＝2（x﹣1）2﹣1 D．y＝2（x+1）2+1 变式3．把二次函数y=2(x－3)2+6转化为一般式 变式4．把二次函数y=3(x-2)(x-3)转化为一般式和顶点式 【知识点二】用“一般式”求二次函数的解析式 若已知二次函数图像上任意三点的坐标，则可以设二次函数的标准式y= ax2 +bx+c.这种形式易得a,b,c的值，顶点坐标是（-，），对称轴是直线x= -. 任何求抛物线解析式的问题，都可以使用一般式. 例2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y＝6；当x＝1时，y ＝0.求这个二次函数的解析式． 变式1．已知二次函数y＝ax2+4x+c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（　　） A．y＝2x2+4x﹣1 B．y＝x2+4x﹣2 C．y＝﹣2x2+4x+1 D．y＝2x2+4x+1 变式2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)，(0，－2)，(1，－2)，求这个二次函数的解析式． 变式3．已知二次函数的图象经过（﹣1、0）、（3、0）、（0、3）三点，求这个二次函数的解析式为． 【知识点三】用“顶点式”求二次函数的解析式 若已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程和函数的最大（小）值，则可以设顶点形式y=a(x-h)2+k，这种形式易得顶点坐标和对称轴，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x= h. 例3．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为 ( ) A．y＝2(x＋1)2＋8 B．y＝18(x＋1)2－8 C．y＝(x－1)2＋8 D．y＝2(x－1)2－8 变式1．抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是（　　） A．y＝﹣2x2+8x+3 B．y＝﹣2x2﹣8x+3 C．y＝﹣2x2+8x﹣5 D．y＝﹣2x2﹣8x+2 变式2．已知抛物线的顶点坐标为(4，－1)，与y轴交于点(0，3)，求这条抛物线的解析式． 变式3．二次函数的图象经过点（4，﹣3），且当x＝3时，有最大值﹣1，求这条抛物线的解析式． 【知识点四】用“交点式”求二次函数的解析式 若已知二次函数图像与x轴的两交点坐标或两交点间的距离及对称轴，则可以设交点式y=a(x-x1)•(x-x2)，这种形式易得抛物线与x轴的交点的坐标,抛物线与x轴的两个交点的坐标分别是（x1，0），（x2，0）. 例4．如图，抛物线的函数表达式是 　． 变式1．如图，抛物线与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0），与y轴交于点（0，﹣3）则此抛物线对此函数的表达式为（　　） A．y＝x2+2x+3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝x2﹣2x+3 D．y＝x2+2x﹣3 变式2．已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(－1，0)和(2，0)，与y轴的交点坐标为(0，－2)，求这个二次函数的解析式． 变式3 .已知一个二次函数的函数表达式为，求该二次函数与坐标轴的所有交点坐标和这个二次函数的对称轴。 【知识点五】杭州中考真题挑战 （2014杭州中考）15.设抛物线过A(0，2), B(4，3)，C三点，其中点C在直线上，且点C到抛物线对称轴的距离等于1，抛物线的函数解析式为　　 　　　. （2017杭州中考）22．在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x-a-1），其中a≠0。 （1）若函数y1的图象经过点（1，-2），求函数y1的表达