第22章 二次函数——二次函数的概念与图像 讲义 2023—2024学年人教版数学九年级上册

第1讲 二次函数概念与图像 【知识点一】二次函数的概念 一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a, b, c为常数）的函数是二次函数. 　　若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2. 以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式. 例1．下列函数表达式中，一定是二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝3x2﹣2x+1 D．y＝x2 变式1．若关于x的函数y＝（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（　　） A．a≠0 B．a≠2 C．a＜2 D．a＞2 变式2．下列关系式中，属于二次函数的是（x是自变量）（　　） A．y B．y C．y D．y＝ax2+bx+c 变式3．若二次函数y＝（2x﹣1）2+1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则b2﹣4ac　 　0（填写“＞”或“＜”或“＝”） 变式4．下列关系中，是二次函数关系的是（　　） A．当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系 B．在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系 C．圆的面积S与圆的半径r之间的关系 D．正方形的周长C与边长a之间的关系 变式5．圆的面积公式S＝πR2中，S与R之间的关系是（　　） A．S是R的正比例函数 B．S是R的一次函数 C．S是R的二次函数 D．以上答案都不对 【知识点二】二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质 1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象 用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线。 因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标. 2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法 用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确. 3.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质 　　二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 　 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而增大； 　　x<0时，y随x增大而减小. 　当x=0时，y最小=0 y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而减小； 　　x<0时，y随x增大而增大. 　当x=0时，y最大=0 例2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象： ①y＝x2；②y＝2x2；③y＝﹣x2；④y＝﹣2x2． 从图象对比，说出解析式中二次项系数a对抛物线的形状有什么影响？ 变式1．将函数y＝kx2与y＝kx+k的图象画在同一个直角坐标系中，可能的是（　　） A． B． C． D． 变式2．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是　 　．（请用“＞”连接排序） 【知识点三】二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质 关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下： 函数 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴 y轴 y轴 函数变化 当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小. 当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大. 最大（小）值 当时， 当时， 例3． 二次函数y＝﹣2x2﹣1图象的顶点坐标为（　　） A．（0，0） B．（0，﹣1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1） 变式1．抛物线y＝x2+1的对称轴是（　　） A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝0 D．直线y＝1 变式2．抛物线y＝x2﹣2的顶点坐标为（　　） A．（0，﹣2） B．（﹣2，0） C．（0，2） D．（2，0） 变式3．在直角坐标系中画山函数图象，并求出y＝﹣x2+2的对称轴和顶点坐标． 变式4．一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点，求k，a，c的值。 【知识点四】函数与函数的图象与性质 1.函数的图象与性质 的符号 开口方向 顶点坐标