1.1.2 空间向量的数量积课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

平面向量及其线性运算 空间向量及其线性运算 推 广 平面向量的数量积运算 空间向量的数量积运算 推 广 1.1.2 空间向量的数量积 学校：仁寿县第一中学北校区 姓名：周扬 回忆 学习平面向量时，是如何研究它的数量积运算的？ 夹角 数量积的定义 运算律 应用 一、空间两个向量的夹角 定义：已知两个非零向量 在空间任取一点O， 则∠AOB叫做向量 的夹角， 记法： 作 范围： 【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量与的夹角等于向量与的夹角. (　　) (2)若向量与的夹角为α,则直线AB与CD所成的角也为α. (　　) 课 前 预 习 × × [解析](1)<,>表示向量,的夹角,<,>表示向量,的夹角,它们之间的关系为<,>=π-<,>. [解析] 若向量与的夹角为α,则直线AB与CD所成的角为α或π-α. 二、空间向量的数量积 零向量与任意向量的数量积为 . 0 实数 问题1.如果空间向量 是两个非零向量，它们的数量积有哪些性质呢？ >0 <0 问题2.空间向量数量积的运算律有哪些？ 数乘向量与向量 数量积的结合律 交换律 分配律 平面向量数量积的运算律 问题2.空间向量数量积的运算律有哪些？ 数乘向量与向量 数量积的结合律 交换律 分配律 空间向量数量积的运算律 辨析 非零向量 数量积运算 数量积运算 可约吗？ 可除吗？ 可结合吗？ 不约 不除 不结合 误区 【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于向量a,b,若a·b=0,则一定有a=0或b=0. (　　) (2)对于非零向量b,由a·b=b·c,可得a=c. (　　) (3)若a·b<0,则<a,b>是钝角. (　　) 课 前 预 习 × × × [解析] (1)非零向量a,b垂直时也有a·b=0. [解析] (2)向量的数量积运算不满足消去律. [解析] (3)若a·b<0,则<a,b>是钝角或<a,b>=π. (4)对于向量a,b,c,有(a·b)·c=a·(b·c). (　　) (5)已知e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,则向量e1在向量e2上的投影向量为e1. (　　) 课 前 预 习 × × [解析] (4)向量的数量积运算不满足结合律. [解析](5)向量e1在向量e2上的投影向量为1×cos 60°×e2=e2. A B C D A B C D l m n g l m n g 投影向量 (1) (2) 图1.1-11 A B (3) 图1.1-11 5.已知e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,则向量e1+e2在向量e1上的投影向量为　　　　.  课 堂 评 价 [解析] ∵(e1+e2)·e1=+e1·e2=1+1×1×=,∴向量e1+e2在向量e1上的投影向量为·e1=e1. e1 [解析]　在正四面体OABC中，||＝||＝||＝1，〈，〉＝〈，〉＝〈，〉＝60°. (1)·＝||||·cos∠AOB ＝1×1×cos 60°＝. [典例1]　如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1.求： (1)·； (2)(＋)·(＋)． (2)(＋)·(＋) ＝(＋)·(－＋－) ＝(＋)·(＋－2) ＝2＋2·－2·＋2－2· ＝12＋2×－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1＋1－1＋1－1＝1. [典例1]　如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1.求： (1)·； (2)(＋)·(＋)． [典例2]　如图所示，P为△ABC所在平面外一点，PA＝PB＝PC＝1，∠APB＝∠BPC＝60°，∠APC＝90°，若G为△ABC的重心，则PG的长为______，异面直线PA与BC所成角的余弦值为________． $$